Duration und Zinsänderungsrisiken (HS 1)


1. Aufgabe

Ein Portfolio besteht aus einem Zerobond, einer Kuponanleihe und einem Consol Bond (ewige Rente). Die Umlaufrendite auf dem Markt beträgt zurzeit für alle drei Anleiheformen 6%. Der Zerobond hat eine Verzinsung in Höhe von 5% und eine Restlaufzeit von 8 Jahren. Der Kuponzins entspricht der Umlaufrendite. Die Restlaufzeit der Kuponanleihe beträgt 5 Jahre. Die ewige Rente verbrieft eine jährliche nachschüssige Zahlung in Höhe von 3%. Der Nennbetrag der drei fest verzinslichen Wertpapiere beträgt 100 Pfund Sterling.

a) Bestimmen Sie jeweils die Duration der drei Anleihen!

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b) Gehen Sie davon aus, dass Sie 20.000 Pfund in die drei genannten Anleihen investieren: Davon 12.000 Pfund in die Nullkuponanleihe, 6.000 Pfund in den Consol Bond und 2.000 Pfund in Kuponanleihe. Bestimmen Sie die Duration diese Portfolios!

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c) Die Umlaufrendite steigt nun auf 7%. Schätzen sie die relative Kursänderung des unter b) bestimmten Portfolios mit Hilfe der modifizierten Duration ab! Vergleichen Sie diesen Wert mit dem exakt bestimmten prozentualen Kurseinbruch. Wie groß ist der Fehler?

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d) Bestimmen Sie die Konvexität der drei im Portfolio enthaltenen Anleihen für eine Umlaufrendite von 6 %.

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2. Aufgabe

Die modifizierte Duration einer Anleihe beträgt 5,6 und die Konvexität (definiert als 2. Ableitung des Barwertes nach dem Zins) ist 12.000. Das aktuelle Zinsniveau beträgt i=10%. Der aktuelle Kurs der Anleihe ist 50 Euro. Nachdem Sie die Anleihe mit den genannten Kennzahlen gekauft haben, steigt der Zins auf 12 %.

a) Wie kann man grundsätzlich den absoluten Kurseinbruch mit Hilfe der modifizierten Duration und der Konvexität approximieren?

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b) Wie hoch ist der Kurseinbruch hier im Beispiel?

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c) Wie kann man grundsätzlich mit Hilfe der Duration und der Konvexität den prozentualen Kurseinbruch abschätzen? Wie ist die Konvexität in diesem Zusammenhang häufig alternativ definiert?

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d) Approximieren Sie den prozentualen Kurseinbruch!

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3. Aufgabe

Sie haben auf einem Seminar erfahren, dass man die Duration als (negative) Bruttozinselastizität des Barwertes interpretieren kann.

a) Wie ist die Formel für die Duration, wenn man dieser Interpretation folgt?

b) Zeigen Sie, dass man die Duration auch als Unterstützungpunkt der Barwertschaukel interpretieren kann, bei dem die Barwertschaukel im Gleichgewicht ist und die folgende Gleichung gilt:

 

 

Die Barwertschaukel muss man sich so vorstellen, dass auf dem Zeitstrahl die Barwerte der Zahlungen zu den jeweiligen Zahlungszeitpunkten stehen.

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c) Nenn Sie alternative Interpretations-Möglichkeiten der Duration!

d) Wie beeinflußt die Höhe des Rückzahlungsbetrages bzw. Nennbetrages der Anleihe die Höhe der Duration?

 

4. Aufgabe

In ihrem Portfolio befinden sich eine ewige Rente und eine Zerobondanleihe mit 2-jähriger Laufzeit. Der Kalkulationszinssatz beträgt zurzeit 10%. Die Zinsstrukturkurve ist flach. Der aktuelle Marktwert Ihres Anleihenportfolios ist 1.000 Euro. Die ewige Rente hat einen aktuellen Kurs von 200 Euro und der Zerobond einen Wert von 800 Euro.

a) Wie hoch ist die Duration der ewigen Rente und des Zerobonds?

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b) Ein Jahr später kommt es zu einem nicht marginalen Zinssprung der Marktrendite von 10% auf 20% und einem damit verbundenen Kurseinbruch der beiden Wertpapiere. Wie hoch ist nun die Duration Ihres Anleihenportfolios? (Anmerkung: Bitte den genauen Wert berechnen und keine Approximation!)

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