Entscheidung unter Risiko (HS 1)

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Aufgabe 1

Angenommen, ein Investor hat eine Investitionsmöglichkeit, die ihm im schlechten Fall, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% eintritt, einen Rückfluss von 100 Geldeinheiten einbringt. Im sonst eintretenden guten Fall ist mit einem Rückfluss von 200 Geldeinheiten zu rechnen. Der vom Investor empfundene Nutzen U hängt folgendermaßen von seinen Rückflüssen R ab:

$$ U(R) = R^{1/3}$$

a) Berechnen Sie das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie!
 
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b)Gehen Sie nun davon aus, dass sein Nutzen in gleicher Weise von seinem Startkapital S abhängt, das heißt:

$$ U(S) = S^{1/3}$$

Welche Aussagen lassen sich über die absolute und die relative Risikoaversion des Investors machen?
 
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Aufgabe 2

Je nach Konjunkturlage und Unternehmensstrategie können Sie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit einen hohen oder einen niedrigen Gewinn (x oder x) erwirtschaften. Dies führt zu folgender Ergebnismatrix:

 

Konjunktur 1

q1=0.3

Konjunktur 2

q2=0.7

Strategie 1

Strategie 2

[x; x: 1; 0]

[x; x: 0; 1]

[x; x: 0.3; 0.7]

[x; x: 0.9; 0.1]

Für welche der beiden Strategien entscheiden Sie sich als rational handelnde Person?

 

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Aufgabe 3

Eine Bank vergibt einen Kredit in Höhe von 80.000 Euro. Mit 80 % Wahrscheinlichkeit zahlt der Schuldner den vereinbarten Rückzahlungsbetrag (inkl. Zinsen) in Höhe von 100.000 Euro zurück. Anderenfalls geht er in die Insolvenz, so dass die Bank aus Sicherheiten nur noch 20.000 Euro erhält.

a) Welche Ausfallprämie [in % und in Euro] hat die Bank kalkuliert?

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b) Angenommen, der sichere Zins beträgt 2%. Welche Risikoprämie [in % und in Euro] hat die Bank dann einkalkuliert?

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Aufgabe 4

 

Ein Anleger besitzt ein Anfangsvermögen A = 200. Davon hat er den Betrag SA = 120 sicher und den Betrag RA = 80 unsicher angelegt. Durch ein Erbe erhöht sich sein Vermögen um E auf N = A + E = 240.

Welche Aussagen lassen sich über die Höhe des sicher investierten Betrags SN sowie des Betrags der unsicheren Investition RN machen, wenn man ihm eine konstante / abnehmende / zunehmende

a) Absolute Risikoaversion oder...

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b) Relative Risikoaversion unterstellt?
 
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Aufgabe 5

Gehen Sie von einem risikoaversen Investor aus, dem folgende Lotterie angeboten wird:

[1000; 4000: 0,5; 0,5]

a) Erläutern Sie anhand dieses Zahlenbeispiels die Begriffe „fairer Preis“, „Risikoprämie“ und „Sicherheitsäquivalent“. Welcher formale Zusammenhang besteht zwischen diesen Begriffen?

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b) Wie ist der formale Zusammenhang zwischen der Risikoprämie und der Basisprämie?
 
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Aufgabe 6

Aus einer Investition erhalten Sie mit 10 %-iger Wahrscheinlichkeit einen Rückfluss in Höhe von 412 Euro. Anderenfalls gehen Sie leer aus. Ihre Präferenzen werden durch die folgende quadratische Nutzenfunktion beschrieben:

U[X] = 3 · X2

Bestimmen Sie Risikoprämie und Sicherheitsäquivalent!

 

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