Das Lücke-Theorem

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Preinreich-Lücke-Theorem: Kapitalwertbestimmung mit Residualgewinnen

Für langfristig wirksame Entscheidungen wird auf die Verfahren der Investitionsrechnung zurückgegriffen, während bei kurzfristigen Analysen tendenziell eher auf die Kosten- und Leistungsrechnung zurückgegriffen wird. Das Residualgewinn-Konzept ermöglicht hier eine einheitliche Ausrichtung der kurzfristigen und langfristigen Erfolgsrechnung. Die Maximierung des Barwertes der Residualgewinne führt unter bestimmten Voraussetzungen zu den gleichen Entscheidungen, wie eine Maximierung des Kapitalwertes, und ermöglicht damit letztendlich eine Maximierung des Unternehmenswertes.

Das ist beim Gewinn nicht unbedingt der Fall. Trifft man Investitionsentscheidungen anhand des Barwertes zukünftiger Gewinne anstatt anhand des Kapitalwertes, kommt es unter Umständen zu Fehlentscheidungen. Dieses Phänomen möchte ich im Folgenden anhand eines kurzen Zahlenbeispiels erläutern: Ein Investitionsobjekt weist die folgende Zahlungsreihe auf: - 120, 50, 50, 50. Der Kalkulationszinssatz beträgt i=20%. Damit ergibt sich ein Kapitalwert von: NPV= - 120 + 41,67+34,72+28,94 = - 14,68 Euro. Dieses Investitionsobjekt erbringt also noch nicht einmal seine Opportunitätskosten. Es wird Wert vernichtet, würde man sich dazu entschließen, die Investition durch zu führen.

Welches Ergebnis ergibt sich, wenn man den Barwert der Gewinne bestimmt? Ein wichtiger Unterschied bei der Gewinnermittlung besteht darin, dass die Anschaffungsauszahlung nicht sofort zum Zeitpunkt t=0 Gewinn mindernd angesetzt wird, sondern dass das Investitionsobjekt vielmehr über die betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer abgeschrieben werden muss. Bei unterstellter linearer Abschreibung ergibt sich eine jährliche Abschreibung in Höhe von 120/3=40 Euro. Die erfolgswirksamen Einzahlungsüberschüsse zu den Zeitpunkten t=1,2 und 3 werden im Rahmen der Gewinnermittlung um diese Abschreibungen gemindert. Es ergibt sich die folgende Gewinnreihe: 0, 10, 10, 10. Der Barwert der Gewinne ergibt sich damit zu: 8,33 + 6,94 + 5,79 = 21,06 Euro. Es ist ersichtlich, dass der Barwert der Gewinne positiv ist und damit den - falschen - Eindruck vermittelt, dass die Durchführung des betrachteten Investitionsobjektes Wert schafft.

Eine Modifikation des Gewinns kann dabei helfen, dieses Problem zu beheben: Der so genannte Residualgewinn. Er wird bestimmt, indem man vom Gewinn einer Periode die kalkulatorischen Zinsen auf die Kapitalbindung der Vorperiode subtrahiert. Die Kapitalbindung wiederum ist definiert als Differenz zwischen den kumulierten Zahlungen und den kumulierten Gewinnen:

KBt - Kapitalbindung am Ende der Periode t

CFs - Einzahlungsüberschuss im Zeitpunkt s

Gs - Gewinn in Periode s

Damit ergibt sich der Residualgewinn zu:

Um das Ganze ein wenig zu verdeutlichen, berechnen wir die Kapitalbindung und die Residualgewinne in unserem Beispiel:

Die Kapitalbindung zum Zeitpunkt t=-1 setzen wir auf null.

KB0 = 0 - ( -120) = 120

KB1 =(0+10)-(-120+50)=80

KB2 =(0+10+10)-(-120+50+50)=40

KB3 =(0+10+10+10)-(-120+50+50+50)=0

Die Kapitalbindung beträgt am Ende der Laufzeit Null. Damit ist eine Bedingung für die Gültigkeit des hier betrachteten Lücke-Theorems erfüllt: Das Kongruenzprinzip. Da es sich hierbei eigentlich um eine notwendige Bedingung handelt, wäre es für das Verständnis besser, wenn man von Kongruenzbedingung sprechen würde. Leider hat sich die irreführende Bezeichnung „Kongruenzprinzip“ eingebürgert. Formal besagt das Kongruenzprinzip, dass die Summe aller Gewinne während der Laufzeit der Summe der Einzahlungsüberschüsse entspricht:

Das Kongruenzprinzip sorgt dafür, dass alle Ein- und Auszahlungen irgendwann während der Laufzeit auch in der Gewinnrechnung berücksichtigt werden.

Dem aufmerksamen Leser ist bestimmt aufgefallen, dass in unserem zugegeben sehr einfachen Beispiel die Kapitalbindung immer gerade um die Abschreibungen fällt. Das liegt daran, dass sich die Cash Flows in t=1,2 und 3 von den kalkulatorischen Gewinn stets lediglich um die Abschreibungen unterscheiden. Das sieht man exemplarisch an der ersten Periode:

KB1 = (0 + CF1 - Abs1) - ( - I + CF1) = I - Abs1

I - Investitionsbetrag in t=0

Abst - Abschreibungsrate in t

Allgemein lässt sich die Kapitalbindung also hier folgendermaßen formulieren:

Da die Maschine vollständig abgeschrieben wird, ist auch das Kongruenzprinzip erfüllt. Im Normalfall werden die Unterschiede zwischen dem kalkulatorischen Gewinn und den erfolgswirksamen Einzahlungsüberschüssen noch durch andere "Schmutzeffekte" verursacht, so dass dieser Zusammenhang nur hier in unserem einfachen Beispiel gilt.

Das Lücke-Theorem besagt nun, dass falls das Kongruenzprinzip erfüllt ist, der Barwert der Residualgewinne dem Kapitalwert entspricht.

Der Kapitalwert war in unserem Beispiel gerade:

NPV= - 120 + 41,67+34,72+28,94 = - 14,68 Euro

Die Residualgewinne ergeben sich zu:

 







Es ergibt sich ein Barwert der Residualgewinne von:

Das entspricht dem Kapitalwert von NPV = - 14,68. Wird der Barwert des Residualgewinns maximiert, so wird gleichzeitig der Kapitalwert maximiert. Formal ausgedrückt lautet das Lücke-Theorem, das zum Teil auch Preinreich-Lücke-Theorem genannt wird:

Der Residualgewinn ist auch unter Praktikern im Rahmen der wertorientierten Unternehmensführung sehr beliebt. Die Unternehmensberatung Stern Steward erfand das Konzept des EVA (Economic Value Added). Sie passen den bilanziellen Gewinn auf mehr als hundert Positionen an, um zu einem dem Residualgewinn vergleichbaren Konstrukt zu gelangen.

Wichtig hier ist ein grundlegendes Verständnis für den eigentlichen Kerngedanken des Lücke-Theorems, sowie eine Vorstellung dafür, wo die Grenzen des mittlerweile so populären Residualgewinn-Konzepts liegen. Aus diesem Grund möchte ich im Folgenden den Beweis für das Lücke-Theorem erbringen. Dazu beginnen wir mit der Definitionsgleichung für die Kapitalbindung:

Dann gilt für die Kapitalbindung der Vorperiode t- 1:

Die Differenz zwischen der Kapitalbindung in t und der Kapitalbindung in der dazugehörigen Vorperiode t - 1 ist also:

Es ergibt sich:

KBt - KBt-1 = Gt - CFt

Die Gleichung wird nach dem Gewinn in t umgestellt:

Gt = CFt + KBt - KBt-1

Diesen Zusammenhang zwischen Gewinn und der Kapitalbindung setzen wir nun in die Formel für den Barwert der Residualgewinne ein:







Die letzte Summe lässt sich aufspalten in drei Summen, so dass für den Barwert der Residualgewinne, den wir hier gerade so umformen wollen, dass die Gleichheit zum Barwert der Cash Flows ersichtlich wird, sich folgendes ergibt:







Die Kapitalbindung KB-1 ist Null, so dass der letzte Term weg fällt. Auch der vorletzte Term fällt weg. Schließlich ist die Kapitalbindung am Ende der Laufzeit, falls das Kongruenzprinzip erfüllt ist, Null.



Damit ist das Lücke-Theorem bewiesen. Es gilt:

Falls Ihr Euch noch tiefgehender mit dem Preinreich-Lücke-Theorem beschäftigen wollt, empfehle ich Euch das Buch Investitionsrechnungvon Prof. Lutz Kruschwitz von der der FU Berlin.

Literaturverzeichnis

Investitionsrechnung Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 195-211

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Investitionsrechnung auf der Basis von Ausgaben oder Kosten? W. Lücke

1955, Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung, S. 310-324

Goodwill in Accountancy Preinreich, G.A.D.

1937, Journal of Accountancy, S. 28-50

Interne Unternehmensrechnung Ewert/Wagenhofer

2005, Springer, 6. Auflage, S. 65-70, 539-555

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The Accounting Review

Residual Earnings Valuation With Risk and Stochastic Interest Rates Feltham, G.A./ J. A. Ohlson

1999, The Accounting Review, S. 689-732

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