Wahrheitsgemäße Berichte: Weitzman-Schema und Osband-Reichelstein-Schema

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Weitzman veröffentlichte 1976 einen Artikel im Bell Journal of Economics über ein damals neues Entlohnungssystem in der UDSSR. Zielsetzung dieses "Soviet Incentive Scheme" war es, eines der Hauptprobleme der damals in der Sowjetunion praktizierten Planwirtschaft in den Griff zu bekommen: Planabweichungen.

Die Probleme begannen bereits bei der Planung, da die benötigten Informationen dezentral verteilt vorlagen, die Planvorgaben jedoch top-down erstellt wurden. Die Zentrale in Moskau gab für das Riesenreich Plangrößen vor, die dann in den einzelnen Regionen und schließlich den einzelnen Produktionsgenossenschaften erfüllt werden mussten. Bevor sie den "Masterplan" erstellen konnte, mussten natürlich zunächst einmal die benötigten Informationen Bottom-Up zusammengetragen und aggregiert werden. Die Zentrale war also vor der Planerstellung gezwungen, den Informationsvorteil der Verantwortlichen vor Ort zu "melken". Die Idee des zur Ehren seines "Entdeckers" als Weitzman-Schema bezeichneten Entlohnungsschemas besteht nun darin, die Entlohnung der Informationslieferanten an den "Wahrheitsgehalt" ihrer Prognose zu knüpfen. Die höchste Bezahlung erhalten sie, wenn ihre ex-ante berichtete Zielgröße mit der ex-post eingetretenen auch tatsächlich übereinstimmt.

Die Probleme der Planwirtschaft ähneln in gewisser Weise den Problemen, die in einem dezentral organisierten Konzern auftreten. Einzig gilt es, im Konzern dem Manager vor Ort statt des örtlichen Funktionärs Anreize zur möglichst wahrheitsgemäßen Berichterstattung zu setzen.

Die Entlohnung s (englisch: salary) gemäß des sowjetischen Anreizschemas setzt sich aus einem fixen Sockelbetrag S und einer vom Bericht der Zielgröße und von der tatsächlichen Ausprägung der Zielgröße abhängigen Prämie zusammen. Eine mögliche Zielgröße, an die die Entlohnung des Managers vor Ort gekoppelt werden könnte, ist der Gewinn G. Das Symbol "G Dach" steht für den Bericht und G für den tatsächlichen Gewinn. Charakteristisch sind die drei Vorfaktoren Alpha1, Alpha* und Alpha2. Sie sind alle positiv und es gilt: Alpha1< Alpha* < Alpha2.

Es werden bei der Entlohnung zwei Fälle unterschieden: Die Berichtüberschreitung (G>G Dach) und die Berichtunterschreitung (G < G Dach). Das Weitzman-Schema sieht dann folgendermaßen aus:

Um den hinter dem Schema stehenden Anreizmechanismus zu verdeutlichen, werden wir uns zunächst den Fall anschauen, dass der Manager vor Ort die zu berichtende Zielgröße G mit Sicherheit kennt. In diesem Fall wird er das G Dach berichten, das seine Entlohnung s(G, G Dach) maximiert.

Man erkennt schnell, dass der Bericht des tatsächlichen Gewinns die Entlohnung maximiert, da die Ableitung der Managerentlohnungsfunktion für den Fall, dass der Bericht unter dem tatsächlichen Gewinn liegt, positiv und für den entgegen gesetzten Fall einer Gewinnübertreibung negativ ist. Falls der Bericht unter dem wahren Wert liegt, kann der Manager vor Ort eine Gehaltssteigerung realisieren, indem er einen höheren Bericht abgibt. Sobald der Bericht den wahren Wert übersteigt, sinkt die Entlohnung wieder. Augenscheinlich maximiert der Bericht des tatsächlichen Wertes die Entlohnung.

Es scheint also so zu sein, dass der Manager vor Ort, falls er die tatsächliche Ausprägung der Zielgröße kennt, die "Wahrheit" sagt. Dieser Fall ist allerdings trivial. Wenn die Zentrale sich darüber im Klaren ist, dass der Mann vor Ort die Wahrheit kennt, kann sie ihn ja auch einfach bestrafen, wenn sich im Nachhinein herausstellt, dass er sie angeflunkert hat. Für den Fall der sicher bekannten Zielgrößen braucht man so einen ausgeklügelten Mechanismus eigentlich nicht. Anders sieht das bei Unsicherheit aus.

Wenn man annimmt, dass der Informationsvorteil des Managers vor Ort darin besteht, dass er im Gegensatz zur Zentrale wenigstens die Verteilung der unsicheren Zielgröße kennt, dann stellt sich die Frage, welchen Bericht er in diesem Falle abgeben wird. Schließlich ist jetzt auch seine Entlohnung unsicher. Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir eine Annahme über die Risikoaversion des Managers. Denn er wird als homo oeconomicus dem Bernoulli-Prinzip folgen und seinen erwarteten Nutzen maximieren. Für den besonders einfachen, jedoch unrealistischen Fall der Risikoneutralität entspricht die Maximierung des erwarteten Nutzens der Maximierung der erwarteten Entlohnung. Genau diesen Fall wollen wir uns anschauen, um eine Intuition für die Anreizwirkung des Weitzman-Schemas bei Unsicherheit zu erhalten.

Wir gehen also nun davon aus, dass der risikoneutrale Manager seine erwartete Entlohnung maximiert:

Gesucht ist das G Dach, das die erwartete Entlohnung maximiert. Die Ableitung der erwarteten Entlohnung findet man mit Hilfe der Leibnitz-Regel, die allgemein lautet:

h soll dabei der Integrand und hy die Ableitung von h nach y sein. Das z entspricht unserem Gewinn G und y ist gleich dem von uns gesuchtem G Dach. Wenn wir nun die Leibnitz-Regel für die Ableitung des Weitzman-Schemas anwenden erhalten wir:

In der Gleichung steht das gesuchte G Dach, das die erwartete Entlohnung des Managers maximiert, leider nicht schön explizit, sondern nur implizit als Quantil von G Dach. Die Verteilungsfunktion F(G Dach) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Bericht von G Dach unterschritten wird. Das ist ja immerhin auch schon was. Auflösen ergibt:

Siehe da. Die Wahrscheinlichkeit, mit der der Bericht unterschritten wird, lässt sich also mit Hilfe der Vorfaktoren Alpha1, Alpha* und Alpha2 beeinflussen. Wenn man beispielsweise möchte, dass der risikoneutrale Manager vor Ort den Median der nur ihm bekannten Gewinnverteilung berichtet, dann gestaltet man den Entlohnungsvertrag so, dass der Bruch in der letzten Gleichung gerade 0,5 ergibt. Bei symmetrischen Verteilungen würde das dann sogar dem Erwartungswert entsprechen. Hier haben wir gerade eine potenzielle Schwäche des Weitzman-Schemas kennengelernt: Es ist nicht möglich, bei schiefen Verteilungen Anreize zum Bericht des Erwartungswertes zu setzen. Da müsste man dann auf das so genannte Osband-Reichelstein-Schema zurück greifen, aber dazu weiter unten mehr.

Ich will das Weitzman-Feeling hier noch ein wenig mit Hilfe eines kleinen Zahlenbeispiels vertiefen. Nehmen wir an, dass der erreichbare Gewinn einer Abteilung die Werte 0, 10, 20, 30 oder 40 Tsd. Euro annehmen kann. Der Abteilungsleiter vor Ort kann im Gegensatz zur Zentrale das Ergebnis ziemlich gut abschätzen. Deshalb wird seine Entlohnung mit Hilfe des Soviet-Incentive-Scheme (Weitzman-Schema) an das von ihm prognostizierte Ergebnis und an das tatsächliche Ergebnis gekoppelt. Es werden dabei die folgenden Parameter gewählt: a1= 0,1; a*=0,2; a2=0,3; S=30 Tsd. Euro.

Als erstes möchte ich jetzt seine Entlohnung für den Fall skizzieren, dass er einen Gewinn von 20 Tsd. Euro berichtet hat. Wir suchen also die Funktion s(G, 20 Tsd. Euro. ) und stellen daher erst einmal eine Wertetabelle auf:

tatsächlicher Gewinn G010203040
Entlohnung s2831343536

Ich kann Euch nur raten, mal selbst zu versuchen, die Wertetabelle auszufüllen! Das ist eine super Übung. Der Entlohnungsverlauf sieht also ungefähr folgendermaßen aus:

Da beim Weitzman-Schema die Entlohnung des Managers von zwei Größen, nämlich dem Bericht und dem tatsächlich eingetretenen Gewinn abhängt, möchte ich nun in einem zweiten Schritt mir anschauen, wie hoch die Entlohnung in Abhängigkeit vom Bericht G Dach ist, falls der Manager weiß, dass der tatsächliche Gewinn 20 Tsd. Euro betragen wird. Wir suchen also die Funktion s(20 Tsd., G Dach ) und stellen daher erst einmal eine Wertetabelle auf:

G Dach010203040
s3233343332

Der Entlohnungsverlauf sieht also für einen bestimmten tatsächlichen Gewinn ungefähr folgendermaßen aus:

(Abbildung fehlt.)



Das beste Lehrbuch, das sich unter anderem mit Anreizsystemen zur wahrheitsgemäßen Berichterstattung auseinandersetzt, ist das Lehrbuch von Ewert und Wagenhofer Interne Unternehmensrechnung (Springer Lehrbuch)



Osband-Reichelstein-Schema

Okay. Ziel des Osband-Reichelstein-Schemas ist es, dem Manager vor Ort Anreize zur wahrheitsgemäßen Berichterstattung zu geben. Bei Unsicherheit wird der risikoneutrale Manager gerade den Erwartungswert der Zielgröße berichten, da dieser seine erwartete Entlohnung maximiert.

Das Schema sieht folgendermaßen aus:

g kann dabei irgendeine X-beliebige konvexe Funktion, wie z. B. eine Quadratfunktion sein. Es gibt also wirklich eine Menge unterschiedlicher denkbarer Osband-Reichelstein-Schemen.

Machen wir uns das an einem Beispiel klar: Das Fixum S soll 10 sein. Die konvexe Funktion g ist eine einfache Quadratfunktion des berichteten Gewinns G Dach. Der tatsächliche Gewinn G ist 10. Wenn wir jetzt die Entlohnung für drei verschiedene Berichte G Dach (nämlich 8, 10 und 12) berechnen, ergeben sich die folgenden Werte:

S(G=10, G Dach=8)=10 + 82 + 2· 8·(10-8)=106

 

S(G=10, G Dach=10)=10 + 102 + 2· 10·(10-10)=110

 

S(G=10, G Dach=12)=10 + 122 + 2· 12·(10-12)=106

Man erkennt an dem Zahlenbeispiel sehr schön, dass die Entlohnung des Managers für den Fall der wahrheitsgemäßen Berichterstattung maximal ist.

Für den Fall, dass der Manager den tatsächlichen Wert des Gewinns G bereits ex-ante mit Sicherheit prognostizieren kann, ist es tatsächlich so, dass der wahrheitsgemäße Bericht (G Dach=G) seine Entlohnung maximiert. Das erkennt man leicht anhand der folgenden Rechnung:

Ein risikoneutraler Manager, der seine erwartete Entlohnung maximiert, wird gerade den Erwartungswert berichten, wie man an der folgenden Rechnung erkennt:

 
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