Das Siegel-Paradoxon

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen besagt, dass der Terminkurs gleich dem erwarteten Wechselkurs ist. Leider tritt hier ein Problem auf, das wir uns im Folgenden klar machen wollen. Denn die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen kann nicht gleichzeitig aus Sicht der Inländer UND der Ausländer gelten. So viel erst einmal als Vorwarnung. Aber schön der Reihe nach: Der zukünftige Wechselkurs w1 ist unsicher. Das können wir uns relativ einfach mit einer drei Punkt Verteilung veranschaulichen. Jeder Wechselkurs vom Euro zum Dollar soll gleich wahrscheinlich sein:

 

Ich habe spaßeshalber auch gleich den jeweiligen Kehrwert des Wechselkurses aufgeschrieben, schließlich ist der Kehrwert ja jeweils der Devisenkurs, zu dem die Amis Euros kaufen. Es wird ja stets in beide Richtungen getauscht. Die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen besagt nun, dass der Terminkurs dem erwarteten Wechselkurs entspricht:

 
 
 
 

In die andere Richtung wird der folgende Wechselkurs erwartet:

 
 
 
 

Wir erkennen deutlich, dass beide Erwartungswerte GRÖßER als eins sind, sie können also auf keinen Fall das jeweils Reziproke des anderen Erwartungswertes sein! Wenn t=E(w1) gilt, kann also NICHT gleichzeitig gelten, dass der Kehrwert des Terminkurses gleich dem Erwartungswert des Kehrwertes des Wechselkurses ist! Die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen kann also NICHT gleichzeitig in beide Richtungen gelten! Hm. Woran liegt das? Was wir hier gelernt haben, ist das so genannte Siegel-Paradoxon. Offensichtlich ist die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen so noch nicht ganz richtig und muss noch um Risikoprämien angepasst werden!

Die Terminkurstheorie kann nicht gleichzeitig aus Sicht der In- und der Ausländer gelten, da der Kehrwert des erwarteten Wechselkurses bei Unsicherheit nicht gleich dem erwarteten Kehrwert des Wechselkurses ist!

 

 


Hier im Zahlenbeispiel gilt:

 



und



Woran liegt das? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir zunächst den Wechselkurs und seinen Kehrwert als zwei eigenständige Zufallsvariablen:


und


Natürlich sind x und y nicht voneinander unabhängig. Ganz im Gegenteil: Der WK und sein Kehrwert sind negativ korreliert: Je höher x ist, desto niedriger ist y. Folgerichtig muss auch die Kovarianz zwischen x und y negativ sein:



Die Kovarianz ist definiert als:



Mit


ergibt sich:



Wir möchten verstehen, warum
 
gilt. Deshalb stellen wir nach dem Produkt der Erwartungswerte von x und y um und erkennen, dass natürlich die Kovarianz zwischen dem Wechselkurs und seinem Kehrwert die Ursache für das Siegel-Paradox bildet: Eine Zufallsvariable kann nicht stochastisch unabhängig von ihrem Kehrwert sein! Aus diesem Grunde kann die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen nicht gleichzeitig in beide Richtungen gelten! Schade.



Mit


gilt folglich:



Auch in unserem Zahlenbeispiel ist das Produkt der Erwartungswerte des Wechselkurses und seines Kehrwertes größer als eins:

1,03·1,0063=1,0365.

Der sich ergebende Wert ist größer als 1 und wir erkennen, dass die Kovarianz hier -0,0365 beträgt.

Wie müssen wir die Terminkurstheorie der Wechselkurserwartungen anpassen, damit sie in beide Richtungen Gültigkeit besitzen kann? Ein denkbare Lösungsmöglichkeit des Siegel-Paradoxes ist die folgende: Vielleicht ist der Terminkurs ja nicht gleich dem erwarteten Wechselkurs, sondern kleiner oder größer. Dies könnte auf eingepreiste Risikoprämien zurück zu führen sein:





Eine Möglichkeit wäre in unserem Zahlenbeispiel, dass die inländische Risikoprämie 0,03 Euro pro Dollar und die ausländische Risikoprämie 0,0063 Dollar pro Euro beträgt. Dann würden ein Terminkurs von 1 Euro pro Dollar aus inländischer Sicht und ein Terminkurs von 1 Dollar pro Euro aus ausländischer Sicht gelten.

 

Literaturverzeichnis

Risk, Interest Rates and the Forward Exchange Siegel, J. E.

1972, in: Quarterly Journal of Economics, 86, S. 303-309

in: Quarterly Journal of Economics, 89

Reply - Risk, Interest Rates and the Forward Exchange Siegel, J. E.

1975, in: Quarterly Journal of Economics, 89, S. 173-175

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