Irrelevanztheoreme von Modigliani und Miller

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Die Irrelevanztheoreme von Modigliani und Miller sind ein fester Bestandteil der aktuellen akademischen Finanzierungsausbildung. Die beiden Wirtschaftswissenschaftler kommen mit Hilfe einiger sehr restriktiver Annahmen analytisch sauber zu dem überraschenden Ergebnis, dass der Unternehmenswert unabhängig vom Verschuldungsgrad des Unternehmens ist. Aus dieser Erkenntnis leiten Modigliani und Miller dann wiederum ab, dass auch die durchschnittlichen Unternehmenskapitalkosten unabhängig von der Kapitalstruktur des Unternehmens und gleich den Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens sind. Ihre Argumentation und den berühmten Arbitragebeweis will ich im Weiteren kurz skizzieren. Schließlich bilden die Thesen von Modigliani und Miller einen sehr guten Einstieg in das Thema Unternehmensbewertung.

Miller erzählte gerne die folgende Anekdote: Nachdem das Nobel-Komitee seine Auszeichnung bekannt gegeben hatte, kam prompt ein Fernsehteam bei ihm vorbei. Er sollte ein Interview für die 11 Uhr Nachrichten geben. Geplant war ein 20 Sekunden-Spot. Also bat man Miller, seine wissenschaftliche Leistung in 20 Sekunden zu erklären. Das war für ihn nicht ganz einfach, wie man sich unschwer vorstellen kann. Aber er wagte einen Versuch: „Stellen sie sich vor, sie haben Milch, die sie zu einem bestimmten Preis verkaufen können. Außerdem haben sie zusätzlich die Möglichkeit, den Rahm ab zu schöpfen und zwei Produkte nämlich Rahm und Magermilch zu verkaufen. Dann sollte auf einem funktionierenden Markt der Preis für die Vollmilch dem Preis der Summe aus Rahm und Magermilch entsprechen.“ Die Fernsehleute konnten mit dieser Erklärung nichts anfangen. Die Schilderung war zu kompliziert. Also nahm Miller einen neuen Anlauf, den Kerngedanken seines Werkes in 20 Sekunden möglichst einfach rüber zu bringen. Er begann: „Stellen Sie sich eine Pizza vor! Die Größe der Pizza ist stets dieselbe, unabhängig davon, in wie viele Stücke man sie schneidet. Das Fernseh-Team verstand nicht, wieso man für so eine Trivialität den Nobelpreis bekommen sollte und zog frustriert unverrichteter Dinge wieder ab. Schöne Geschichte oder?

Der Unternehmenswert V, von dem M&M (wie wir sie liebevoll nennen) die ganze Zeit sprechen, ist ein Bruttounternehmenswert. Er entspricht der Summe der Marktwerte des Eigen- und des Fremdkapitals:

V = EK + FK

V – Unternehmenswert (von Englisch "Value" - Wert)

EK – Marktwert des Eigenkapitals

FK – Marktwert des Fremdkapitals

Die Irrelevanz des Verschuldungsgrades für den Unternehmenswert kann mit dem „Law of one price“ gut erklärt werden. Wenn man annimmt, dass man auf Kapitalmärkten keinen „Free Lunch“ durch Arbitrage erzielen kann, dann muss gelten, dass der Marktwert eines Zahlungsstromes der Summe der Marktwerte mehrerer Zahlungsströme entsprechen muss, falls diese Zahlungsströme zusammengenommen den Ursprungszahlungsstrom nachbilden. Wäre das nicht der Fall, weil z. B. der Gesamtzahlungsstrom billiger wäre als die Summe der Marktwerte der Einzelzahlungsströme, dann könnte man den zusammengesetzten Zahlungsstrom kaufen und ihn in mehrere Zahlungsströme aufteilen und verkaufen und würde so einen Arbitrageerfolg realisieren. Im umgekehrten Fall würde man sein „freies Mittagessen“ erzielen, indem man die einzelnen Zahlungsströme kauft und sie als ein Gesamtpaket weiterverkauft. Durch diesen Handel würde es zu einer Preisanpassung kommen. Der Markt strebt also immer in Richtung eines Gleichgewichtszustandes, in dem keine Arbitrageerfolge mehr zu realisieren sind.

Übertragen auf M&M bedeutet die Annahme im Gleichgewicht befindlicher arbitragefreier Kapitalmärkte also das Folgende: Das Unternehmen generiert durch seine realwirtschaftlichen Aktivitäten den Zahlungsstrom ZEK+FK. Dieser Zahlungsstrom wird auf die Fremdkapital- und Eigenkapitalgeber aufgeteilt:

ZEK+FK=ZEK+ZFK

Es gilt für den Unternehmenswert, dass er gleich dem Marktwert (MW) des Gesamtzahlungsstromes, den das Unternehmen generiert, ist. Dieser Marktwert entspricht auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt der Summe der Marktwerte der Einzelzahlungsströme:

V=MW(zEK+FK)= MW(zEK)+MW(zFK) = EK + FK

Damit wären wir dann schon bei der ersten These von Modigliani und Miller. Die Art und Weise, wie der Gesamtzahlungsstrom zEK+FK auf die beiden Kapitalarten aufgeteilt wird, spielt für den Unternehmenswert keine Rolle, da die Summe der Marktwerte von FK und EK stets dem Marktwert des Gesamtzahlungsstromes entsprechen müssen.

Der Originalbeweis von Modigliani und Miller ist allerdings ein wenig ausgefeilter, obwohl der Kerngedanke natürlich der gleiche ist.

Beginnen wir mit den Annahmen von Modigliani und Miller. Die sind unter anderem deshalb so interessant, weil wir sie später schön auseinandernehmen, um zu sehen, warum die Kapitalstruktur, also das Verhältnis von Eigen- und Fremdkapital, sehr wohl einen Einfluss auf den Unternehmenswert hat. Man sollte sich übrigens davor hüten, sich nur die Halbwahrheit zu merken, dass Modigliani und Miller ernsthaft behauptet hätten, dass der Verschuldungsgrad tatsächlich KEINEN Einfluss auf den Unternehmenswert hätte. Sie haben vielmehr nur den unrealistischen Spezialfall abgesteckt, bei dem die Kapitalstruktur tatsächlich keinen Einfluss hat. Im Rahmen ihres wissenschaftlichen Lebenswerkes haben Modigliani und Miller an diesem Punkt natürlich nicht aufgehört, sondern sich vielmehr selbst um die Diskussion, wie die Kapitalstruktur den Unternehmenswert beeinflussen könnte, sehr verdient gemacht.

Nun also die Annahmen: Es wird alles ausgeschlossen, was dazu führen könnte, dass die Kapitalstruktur zahlungswirksam wird. So sollen keine finanzierungsabhängigen Steuern existieren. Außerdem werden Illiquiditätsrisiken ausgeschlossen. Schließlich kann eine Insolvenz beispielsweise sehr wohl Kosten verursachen und Einfluss auf Zahlungen nehmen. Außerdem wird angenommen, dass alle Akteure den gleichen Zugang zu den Kapitalmärkten haben und sich die Investoren zu den gleichen Konditionen wie die betrachteten Unternehmen verschulden können.

Die Kernaussage von Modigliani und Miller ist nun die: Durch Wahl eines bestimmten Verschuldungsgrades kann das Unternehmen den Unternehmenswert nicht steigern, da die Anleger in der Lage sind, jeden Verschuldungsgrad privat nach zu bilden. Auf Englisch spricht man von einem „homemade leverage“.

Wir nehmen an, dass es zwei Unternehmen der gleichen Risikoklasse mit dem gleichen erwarteten Bruttogewinn gibt. Durch die Annahme identischen Risikos klammern Modigliani und Miller das Rendite/Risiko-Problem einfach aus. Es wird für alle zukünftigen Perioden der gleiche Bruttogewinn erwartet. Das eine Unternehmen U ist komplett mit Eigenkapital finanziert, während das zweite Unternehmen L verschuldet ist.

Da für alle zukünftigen Perioden der gleiche Bruttogewinn erwartet wird, ergibt sich der Unternehmenswert des unverschuldeten Unternehmens U einfach als ewige Rente:

VU - Wert des unverschuldeten Unternehmens U

KUEK - Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens.

E(X) – Erwarteter Bruttogewinn einer zukünftigen Periode

Der Kalkulationszinsfuß zur Bestimmung des Unternehmenswertes des unverschuldeten Unternehmens ist dabei die von den Eignern geforderte Eigenkapitalverzinsung. Aus Sicht des Unternehmens sind dies Eigenkapitalkosten. In unserem Beispiel ergibt sich also der Wert des unverschuldeten Unternehmens als Barwert einer ewigen Rente, der mit Hilfe der Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens berechnet wird.

Beim verschuldeten Unternehmen L wird der Bruttogewinn X auf Eigen- und Fremdkapitalgeber aufgeteilt. Das liegt unter anderem daran, dass die Annahme getroffen wurde, dass keine finanzierungsabhängigen Steuern erhoben werden. Alle Steuer – „Schmutzeffekte“ werden also ausgeklammert. Ansonsten müsste der Bruttogewinn nicht nur auf Eigner und Gläubiger aufgeteilt werden, sondern auch Vater Staat würde einen Teil abbekommen. So gilt:

Der Unternehmenswert des verschuldeten Unternehmens L ist laut Definition gleich der Summe aus dem Marktwert des Eigenkapitals (EK) und dem Marktwert des Fremdkapitals (FK). Die beiden Marktwerte ergeben sich erneut als Barwerte ewiger Renten. Die Kalkulationszinssätze sind dabei einmal die Fremdkapitalkosten und für das Eigenkapital die Eigenkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens. Die geforderte Rendite der Eigner ist – wie wir später noch sehen werden – eine Funktion des Verschuldungsgrades.

Modigliani und Miller gehen nicht davon aus, dass Sicherheit über die zukünftigen Ergebnisse herrscht. Sie nehmen lediglich an, dass für beide Unternehmen der gleiche Bruttogewinn und das gleiche Risiko erwartet werden.

Beim berühmt/berüchtigten Arbitragebeweis geht man nun folgendermaßen vor: Wir gehen zunächst davon aus, dass das verschuldete Unternehmen mehr wert als das unverschuldete ist:

VL>VU

Dann zeige ich, dass die Aktionäre von L durch Verkauf eines Aktienpaketes α·EK des verschuldeten Unternehmens, Kreditaufnahme und Kauf eines gleich hohen Anteils am unverschuldeten Unternehmens auf die gleiche zukünftigen Zahlungen berechtigt sein können und gleichzeitig bei dieser Umschichtung einmalig einen Arbitrageerfolg realisieren können. Dabei bildet der Aktionär privat den Verschuldungsgrad des Unternehmens L nach.

Es wird also angenommen, dass durch die Verschuldung der Unternehmenswert gesteigert werden kann und zunächst gilt:

VL>VU

In diesem Fall kann der Anleger einen Arbitrageerfolg durch die folgenden drei Transaktionen realisieren: Als erstes verkauft er seinen Anteil am verschuldeten Unternehmen L. Er erzielt dadurch Einnahmen in Höhe von:

Außerdem bildet er privat den Verschuldungsgrad des verschuldeten Unternehmens nach (homemade leverage), indem er einen Kredit aufnimmt in Höhe von :

 

 

Insgesamt verfügt der Investor nach dem Verkauf der Aktien von L und der Kreditaufnahme über liquide Mittel in Höhe von:

 

 

Im letzten Schritt investiert der Anleger seine liquiden Mittel in einen prozentual gleich hohen Anteil des Eigenkapitals des unverschuldeten Unternehmens U und stellt auf diesem Wege eine äquivalente Position zu seiner Ausgangsposition her. Ihm gehört dann:

Bei dieser Umschichtung realisiert der Investor einen einmaligen Arbitrageerfolg in Höhe von:

 

 

Dieser „Free Lunch“ ist positiv, da wir eingangs angenommen haben, dass durch eine Verschuldung Wert geschaffen werden kann und VL>VU gilt. Bei der Umschichtung bleibt also übrig. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass der Investor NACH der Umschichtung eine äquivalente Position im Vergleich zu seiner Position vor der Umschichtung hat. Wir müssen also belegen, dass er auf die gleichen zukünftigen erwarteten Zahlungen berechtigt ist.

In einer exemplarischen Periode erwartete der Investor vor der Umschichtung, da er einen Anteil Alpha am Unternehmen L hielt:

Nach der Umschichtung erhält er einen Anteil Alpha am Bruttogewinn des unverschuldeten Unternehmens:

 

Er muss jedoch gleichzeitig auf den Kredit, den er übrigens nie zurückzahlt, Zinsen zahlen. Hier kommt eine wichtige Annahme von Modigliani und Miller zum Tragen, nämlich dass sich die Privatanleger zu den gleichen Konditionen wie das Unternehmen am Kapitalmarkt verschulden können. Die Zinsen, die der Anleger auf seinen Privatkredit zahlen muss, entsprechen also den Fremdkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens. Der Privatanleger zahlt also in jeder zukünftigen Periode Zinsen in Höhe von:

 

 

Wie man leicht erkennt, handelt es sich tatsächlich vor und nach der Umschichtung um gleichwertige Positionen:

 

Auf der linken Seite der Gleichung stehen die erwarteten Zahlungen des Investors vor der Umschichtung und auf der rechten Seite stehen die, die er nach der Umschichtung erwartet. Man kann auf beiden Seiten durch Alpha teilen und auf beiden Seiten E(XFK) hinzuaddieren. Dann erhält man die folgende Gleichung:

 

Die Gleichung ist erfüllt. Der Investor steht also mit den Kreditzinsen, die er zahlen muss, und seinem Anteil am Bruttogewinn des unverschuldeten Unternehmens genauso gut da, wie mit dem gleich großen Anteil am verschuldeten Unternehmen. Er hat privat den Verschuldungsgrad des Unternehmens L nachgebildet und durch die einmalige Umschichtung einen Arbitrageerfolg von

 

erzielt. Man sieht sofort: Diese Situation ist kein Gleichgewichtszustand und wird nicht lange Bestand haben. Es wird zu einer Preisanpassung kommen. Schließlich werden die Aktien des überbewerteten Unternehmens verkauft und die des unterbewerteten Unternehmens gekauft werden, so dass der Preis – in unserem Beispiel von L – fällt und der von U steigt, bis der „Free Lunch“ verschwindet, und keine Arbitragemöglichkeit existiert:

Damit muss im Gleichgewichtszustand gelten:

VL=VU

Das war der berühmte Arbitragebeweis. Natürlich kann man den Beweis auch analog für VL < VU führen. Nur würde der Anleger dann seine Anteile am unverschuldeten Unternehmen U verkaufen, den gleichen Anteile von L kaufen und den Rest auf sein Sparkonto legen, um die marktübliche Fremdkapitalverzinsung als Einnahmen zu verbuchen. Dahingehende Ausführungen finden Sie bei Jochen Drukarczyk Unternehmensbewertung (Vahlen Handbücher der Wirtschafts- u. Sozialwissenschaften) Ich hoffe, Sie glauben mir, dass sich auch dann durch Preisanpassungen ein Gleichgewicht einstellen muss, bei dem gilt:

VL=VU

Wenn man das bis hier hin schon mal geschluckt hat, dann ist die zweite These von Modigliani und Miller nur noch ein kleiner Schritt. Dort machen M&M eine Aussage über den gewogenen Durchschnitt der Unternehmenskapitalkosten, die so genannten WACC. Die Abkürzung steht für den englischen Ausdruck „Weighted Average Cost of Capital“. Also für die durchschnittlichen Unternehmenskapitalkosten.

Wenn wir in unserem Beispiel bleiben, dass sich der Unternehmenswert bzw. der Marktwert des Fremd- und Eigenkapitals jeweils als Barwert einer ewigen Rente ergeben, dann gilt für die durchschnittlichen Kapitalkosten:

 

 

Umstellen nach den WACC ergibt:

 

Mit der ersten These von Modigliani und Miller VL=VU ergibt sich für die durchschnittlichen Kapitalkosten:

Für das unverschuldete Unternehmen gilt:

 

 

Umstellen nach den Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens ergibt:

 

 

Wir erkennen, dass das offenbar den durchschnittlichen Unternehmenskosten entspricht. Schließlich gilt:

Damit haben wir mit ein paar einfachen Umformungen die zweite These von Modigliani und Miller gezeigt:

 

In dem beschriebenen Modellrahmen von Modigliani und Miller sind die durchschnittlichen Kapitalkosten unabhängig vom Verschuldungsgrad und gleich dem Kalkulations-Zinsfuss der Risikoklasse, dem das Unternehmen angehört.

Hier ist die Unterscheidung zwischen den Eigenkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens und den Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens ganz wichtig. Denn die sind eine linear im Verschuldungsgrad steigende Funktion, während die gleich den WACC und damit UNABHÄNGIG vom Verschuldungsgrad sind!

Für die WACC gilt:

Auf beiden Seiten wird mit dem Unternehmenswert V multipliziert und dann gilt:

 

 

Dann teilen wir noch mal durch V und erhalten eine Formel für die WACC, die wir natürlich auch einfacher hätten haben können:

 

 

Hier erkennt man endlich, warum die WACC ein „gewogener“ Durchschnitt sind. Schließlich werden die mit der so genannten Eigenkapitalquote und die KFK mit der Fremdkapitalquote gewichtet. Wichtig ist dabei, dass es sich hier um MARKTWERTE des Eigenkapitals und des Fremdkapitals handelt. Die können sich nämlich zum Teil erheblich von den Buchwerten unterscheiden! Der Verschuldungsgrad ist bei den durchschnittlichen Kapitalkosten KEINE Bilanz-Kennzahl. Es sei denn es handelt sich um eine „Bilanz“ mit Marktwerten.

Meist tauchen die WACC in Lehrbüchern in Verbindung mit Steuern auf. Davon habe ich bisher allerdings – ganz im Sinne von Modigliani und Miller – abstrahiert. In unserer Modellwelt ergeben sich die folgenden Kapitalkosten:

 

Ihr solltet aber immer im Hinterkopf behalten: Modigliani und Miller sind mit ihren Irrelevanzthesen nur der "starting point" von dem die ganze Kapitalstruktur/Unternehmenswert-Diskussion beginnt. Im Weiteren wollen wir schrittweise lockern, um zu sehen, dass die Kapitalstruktur mit großer Wahrscheinlichkeit in der Praxis sehr wohl wertschaffend oder wertvernichtend wirken kann. Am besten sieht man das am Beispiel der Steuern.

Literaturverzeichnis

Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 177-181

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 13. Auflage 21-22

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The Cost of Capital

The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment Modigliani, Franco/Miller, Merton H.

1958, in: AER, Vol. 48, S. 261-297.

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