Optionen

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Optionen haben in den letzten Jahrzehnten dramatisch an Bedeutung gewonnen. 1997 erhielten Myron Scholes zusammen mit Robert Cox Merton für ihre Ausarbeitung einer mathematischen Formel zur Bestimmung von Optionswerten an der Börse den Wirtschafts-Nobelpreis. Ein grundlegendes Verständnis der Optionstheorie ist auch für die zahlreichen auf dieser Theorie aufbauenden Finanzinnovationen wichtig.

Grundsätzlich verbrieft eine Option das Recht des Optionshalters ein Underlying (das kann z. B. eine Aktie sein) zu einem bestimmten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines bestimmten Zeitraums zum vorab vereinbarten Preis, dem so genannten Ausübungspreis bzw. Strike, zu kaufen oder zu verkaufen. Verbrieft die Option das Recht das Underlying zu einem bestimmten Preis zu verkaufen, dann handelt es sich um eine Verkaufsoption - einem so genannten Put. Kaufoptionen, die das Recht verbriefen das Underlying zum Strike zu kaufen, sind so genannte Calls.

Kann die Option nur zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgeübt werden, dann handelt es sich um eine sogenannte europäische Option. Ist ein Ausübungszeitraum vorgesehen, während dem der Halter jederzeit seine Option ausüben kann, so spricht man von einer amerikanischen Option.

Es wird zudem zwischen Optionen und Optionsscheinen (so genannten Warrants) unterschieden: Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, während ein Optionsschein ein Wertpapier ist, das der Optionshalter einfach weiterverkaufen kann.

Die Bestimmung des Optionswertes während der Laufzeit ist nicht trivial. Was man auch daran erkennt, dass die Bestimmung einer Bepreisungsformel dem Nobelpreiskomitee einen Nobelpreis wert war. Der Wert einer europäischen Option zum Ausübungszeitpunkt lässt sich einfach bestimmen. Für einen Call auf eine Aktie gilt beispielsweise:

c = Max[ 0, S - E]

c - Wert des Calls zum Ausübungszeitpunkt

S - Preis des Underlyings, also z. B. des Aktienkurses (Stock) zur Ausübungszeitpunkt

E - Exercisepreis bzw. Strike

Falls der Aktienkurs S zum Ausübungszeitpunkt unterhalb des Exercisepreises E liegen sollte, hat die Option keinen Wert. Sollte der Aktienkurs höher als der Strike sein, ist der Wert der Option gerade die Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem Strike. Bei einem Kurs von 120 € und einem Strike von 90 € hätte der Call zum Ausübungszeitpunkt einen Wert von 30 €. Die folgende Graphik verdeutlicht den Wertverlauf des Calls zum Ausübungszeitpunkt in Abhängigkeit vom Aktienkurs.

Bei den bedingten Termingeschäften ist der Gewinn des Einen immer gleichzeitig der Verlust des Anderen. Dem Halter der Option, der ein Wahlrecht hat, ob er die Option ausübt, steht der Stillhalter, der Emittent der Option, gegenüber. Die Position des Halters ist ein long call und die des Stillhalters nennt man "short call". Seine Position in Abhängigkeit vom Aktienkurs sieht folgendermaßen aus:

Mit Hilfe von Verkaufsoptionen, so genannten Puts, kann man von fallenden Kursen profitieren. Der Halter des Puts hat das Recht z. B. eine Aktie zu einem bestimmten Preis zu verkaufen. Angenommen der Put verbrieft das Recht eine VW-Aktie zum Basispreis von 50 Euro zu verkaufen, der tatsächliche Kurs zum Ausübungszeitpunkt beträgt jedoch 40 Euro, dann macht der Optionshalter ein Plus von 10 Euro. Der Wert eines Puts zum Ausübungszeitpunkt ist also:

p = Max [E - S, 0]

p - Wert des Puts zum Ausübungszeitpunkt

E - Basispreis, Ausübungspreis, Exercisepreis, Strike

S - Aktienkurs

Die korrespondierende Short Position short put, hat entsprechend einen Wert zum Ausübungszeitpunkt von:

p = Min[S-E, 0]

Wenn man sich die Gesamtposition eines Optionshalters zum Ausübungszeitpunkt anschaut, dann muss man natürlich den Preis c den er für den Erwerb der Option gezahlt hat und die potenziellen Zinsgewinne, auf die er durch den Kauf der Option verzichtet hat, mit berücksichtigen. Kauft der Optionshalter beispielsweise einen Kaufoption zum Preis c und hätte er die Möglichkeit gehabt eine Verzinsung von rf bzw. die Bruttoverzinsung q=1+rf zu erzielen, dann macht er also insgesamt erst einen Gewinn, sobald der Aktienkurs zum Ausübungszeitpunkt höher als E + Cq ist. Sein vollständiges Gewinn- und Verlust-Profil stellt sich also folgendermaßen dar:

Entsprechend ergibt sich für den Halter einer Verkaufsoption, dass sein maximaler Gewinn bei einem Aktienkurs von S=0 nicht E, sondern lediglich E-qp ist:

Interessanterweise kann auch das Eigenkapital eines Unternehmens als Kaufoption interpretiert werden. Das volatile Underlying wäre dann das Geschäftsvermögen und der Ausübungspreis entspräche den Schulden. Zum Fälligkeitstermin der Verbindlichkeiten ergibt sich dann der Wert des Eigenkapital als:

EK = Max [0, GK-FK]

EK - Wert des Eigenkapitals

GK - Unternehmenswert

FK - Wert des zu bedienenden Fremdkapitals

Put-Call-Parität

Der Preis eines europäischen Calls und eines europäischen Puts steht in einem ganz bestimmten Zusammenhang, der durch die so genannte Put-Call-Parität ausgedrückt wird:

p - Wert des Puts

c - Wert des Calls

E - Strike

qn - Bruttoverzinsung über n Perioden

Am besten macht man sich diesen Zusammenhang graphisch klar. Es gilt den Endwert des Puts, der im Folgenden abgebildet ist, durch ein Portefeuille aus Call, einer "geshorteten" Aktie und einer Anlage des Basispreises nachzubilden:

Beginnen wir unseren Nachbilde-Versuch mit dem Endwert des Calls:

Davon wird der Endwert des Aktienkurses, also der Aktienkurs S zum Ausübungszeitpunkt, subtrahiert:

Das ergibt insgesamt:

Dazu wird der Endwert einer Kreditvergabe in Höhe von E/qn addiert. Der Endwert dieser Kreditvergabe ist gerade E, so dass also insgesamt der Endwertverlauf um E nach oben verschoben wird:

Der sich ergebende Endwertverlauf entspricht dem Endwertverlauf des Puts. Damit sind wir am Ziel unserer Träume und haben die Put-Call-Parität graphisch gezeigt. Der Preis des Puts entspricht dem eines Calls minus des Aktienkurses zuzüglich des abgezinsten Ausübungspreises. Das gilt nicht nur am Ende der Laufzeit, sondern auch während der gesamten Laufzeit:

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 314-315

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Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 136

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