Bestimmung des impliziten Terminzinssatzes

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


In diesem Abschnitt werde ich zeigen, wie sich der Terminzinssatz sowohl bei gegebenen Zerobondzinssätzen wie auch bei gegebenen Zerobond- und Kuponzinssätzen bestimmen lässt. Dazu werden zunächst die Begriffe kurz definiert und dann wird auf die verschiedenen Ausgestaltungen der Zinsstruktur eingegangen. Nach der Erklärung des Prinzips der Arbitragefreiheit wird dieses zur Herleitung des impliziten Terminzinssatzes in den oben genannten Fällen genutzt. Alle Herleitungen werden also unter Annahme der Arbitragefreiheit vollzogen.

Es gibt zwei Begriffspaare - zum einen Zerobond- und Kuponzinssatz und zum anderen Kassa- und Terminzinssatz, diese lassen sich jeweils miteinander kombinieren. Bei Zerobond-Anleihen (zst) erfolgen zwischenzeitlich weder Zins- noch Tilgungszahlungen. Eine typische Zahlungsreihe wäre (-100; 0; 0; 100*1,053 = 115,7625). Hierbei handelt es sich um eine Anlage von 100 Euro über 3 Jahre zu einem Zinssatz von 5%. Anders verhält es sich bei Kuponanleihen (ist), hier werden am Ende jeder Periode Zinszahlungen geleistet. Die Zahlungsreihe mit den gleichen Parameter wie im Beispiel zuvor wäre dann (-100; 5; 5; 105).

Kassazinssätze sind Zinssätze für Geschäfte, die sofort durchgeführt werden (z0t oder i0t). Verfügungs- und Erfüllungsgeschäft fallen hier zusammen. Im Gegensatz dazu stehen die Termingeschäfte, diese werden auch heute vereinbart, allerdings erst in Zukunft durchgeführt. Dies bedeutet, dass ich mir schon heute einen Terminzinssatz sichere, zu dem ich beispielsweise mein Geld von t = 3 bis t = 5 anlegen kann.

Es gibt drei verschiedene Verläufe der Zinsstrukturkurve. Wenn sie flach verläuft, also der Periodenzinssatz unabhängig von der Laufzeit der Anlage bzw. der Verschuldung ist, dann ist die Herleitung des impliziten Terminzinssatzes trivial, da der Terminzinssatz für eine beliebige zukünftige Periode dem Zinssatz für die erste Periode entspricht. Empirisch ist am häufigsten zu beobachten, dass die Zinssätze mit zunehmender Laufzeit steigen, daher wird dieser Fall auch als normale Zinsstruktur bezeichnet. Die langfristigen Zinsen sind also höher als die kurzfristigen. Abschließend bleibt noch die inverse Zinsstruktur zu erwähnen. Hierbei sinken die Zinssätze mit zunehmender Laufzeit. Dies mag zunächst äußerst unrealistisch klingen, aber es gibt durchaus Szenarien in denen dies vorstellbar ist und auch in dieser Form schon zu beobachten war, wenngleich es eine Ausnahme bleibt.

Nun zum Prinzip der Arbitragefreiheit, auf dem die dann folgenden Herleitungen fußen werden. Allgemein lässt sich sagen, dass dominante Positionen höhere Preise und gleiche Positionen gleiche Preise haben müssen, damit Arbitragefreiheit gewährleistet ist. Für Finanzanlagen lässt sich daraus schlussfolgern, dass bei gleichen Rückflüssen der Preis, also die Höhe der Investition, identisch sein muss. Bei Arbitragefreiheit ist es nicht möglich durch Anlage über eine beliebige Laufzeit und Kombination der verschieden Zinssätze einen positiven Kapitalwert zu erzielen. Der Kapitalwert für alle Finanzanlagen ist bei Arbitragefreiheit gleich Null.

Bei Arbitragefreiheit muss also gelten, dass jede am Markt verfügbare Kombination von Kupon- bzw. Zerobondzinssätzen auf der einen und Kassa- bzw. Terminzinssätzen auf der anderen Seite bei gleichem Anlagevolumen über einen identischen Zeitraum den gleichen Endwert liefert. Mit diesem Wissen lassen sich "fehlende" Zinssätze herleiten, wenn genug bekannte Zinssätze vorliegen.

Angenommen es ist zwar bekannt, zu welchem Zerobondzinssatz man sein Geld ab sofort für ein oder zwei Perioden anlegen kann. Man verfügt aber nicht schon heute über einen überschüssigen Betrag, sondern möchte zum Zeitpunkt t=1 für ein Jahr Geld anlegen (für die Geldaufnahme ist die Rechnung identisch). Man kann nun ein Jahr warten und den Betrag dann zum in t=1 marktgängigen Zinssatz investieren. Ist einem diese Methode dagegen zu unsicher, bleibt die Möglichkeit, bereits in t=0 die Verzinsung zu vereinbaren. Auf einem arbitragefreien Markt ist dieser Terminzinssatz eindeutig bestimmt. Am anschaulichsten wird der Sachverhalt anhand folgender Grafik:

Wie oben beschrieben, muss sich bei einem Anlagebetrag von einem Euro über zwei Jahre derselbe Endwert ergeben, egal auf welche Art ich "die Zeit überbrücke". Daraus folgt:

(1 + z02)2 = (1 + z01) · (1 + z12)

und:

Für z12 benutzt man auch die Bezeichnung "impliziter Terminzinssatz", da er sich ja aus den anderen Zinssätzen ergibt. Diese Vorgehensweise lässt sich (weiterhin nur bei Arbitragefreiheit) problemlos auf beliebig viele Perioden erweitern:

Jeder beliebige Terminzinssatz wird folglich berechnet als:

Zu guter Letzt soll noch gezeigt werden, wie auch unter Zuhilfenahme von Kuponzinssätzen ein impliziter Terminzins bestimmt werden kann und auf welche Besonderheit dabei zu achten ist. Folgende Daten sind gegeben bzw. gesucht:

Der Knackpunkt ist die Auszahlung, die beim Kuponzinssatz bereits in t=1 anfällt. Bei Anlage von einem Euro beträgt sie genau i02 Cent. Da sich ja bei allen Anlagevarianten derselbe Endwert ergeben soll, muss diese Kuponzahlung noch um eine Periode aufgezinst werden. Dies geschieht mit dem gesuchten Terminzinssatz z12. Analog zu der Überlegung im letzten Beispiel ergibt sich die Gleichung:

(1 + z02)2 = (1 + i02) + i02 · (1 + z12).

Diese muss nun nur noch nach der jeweils fehlenden Variablen (hier z12) aufgelöst werden.

Literaturverzeichnis

Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 83

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