Ökonomische Wert des Kreditrisikos

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Der Ökonomie Nobelpreisträger Robert C. Merton veröffentlichte 1974 im Journal of Finance ein Modell, in dem er auf den Optionscharakter von Eigen- und Fremdkapital abzielt:


Merton, Robert C. (1974): On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, Vol. 29, S. 449-470.

Mertons Idee ist die folgende: Zum Fälligkeitstermin des Fremdkapitals haben die Unternehmenseigner zwei Möglichkeiten: Entweder sie zahlen den nominalen Kreditbetrag inklusive Zinsen zurück oder sie überlassen das Unternehmen den Fremdkapitalgebern. Sie werden nur dann die Schulden des Unternehmens begleichen, wenn der Unternehmenswert (hier verstanden als Summe der Marktwerte von Eigen- und Fremdkapital) über dem Rückzahlungsbetrag liegt. Das kann man als Kaufoption der Eigenkapitalgeber interpretieren, dessen Ausübungspreis der Kreditbetrag inklusive Zinsen ist.

 

Im Originalaufsatz von Merton (1974) erfolgen die Zinszahlungen NUR am Ende der Laufzeit. Es wird also mehr oder weniger von der Zahlungsstruktur eines Zerobonds ausgegangen, bei dem am Ende der Laufzeit der Nominalbetrag zuzüglich Zinsen und Zinseszinsen beglichen werden muss. Dieser kleine Schönheitsfehler wird von Erweiterungen des Modells behoben. Zum Beispiel:


Geske, Robert (1977): The Valuation of Corporate Liabilities as Compound Options, in: Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12, S. 541-551.

Anmerkung: Professor Geske hat eine ganze Reihe wichtiger Beiträge zur Optionsbewertung geleistet. So liefert er beispielsweise eine Formel für die Bewertung amerikanischer Kaufoptionen ("The American Put Option Valued Analytically", Robert Geske and H. E. Johnson, in: he Journal of Finance, Vol. 39, No. 5 (Dec., 1984), pp. 1511-1524 ).

 

Aber zurück zum Modell von Merton (1974): Schon bei der Kreditvergabe räumen die Fremdkapitalgeber den EK-Gebern die Option ein, das Unternehmen zum Fälligkeitstermin an die Fremdkapitalgeber zu "verkaufen", indem sie in Konkurs gehen. Das kann man so interpretieren, dass die Fremdkapitalgeber die Position eines "Short Puts" eingehen: Sie verkaufen an die Unternehmenseigner einen Put mit dem Endwert:

 



Dabei ist N der Rückzahlungsbetrag und V der Unternehmenswert. Der Wert dieser Verkaufsoption spiegelt den ökonomischen Wert des Kreditrisikos wider. Auf funktionierenden Kapitalmärkten sollten die Fremdkapitalgeber sich diese Option bei Abschluss des Kreditvertrages bereits vergüten lassen. Wenn man der Logik von Merton folgt, dann ist der Marktwert des Fremdkapitals vor dem Fälligkeitstermin (t < T):

 



N - nominaler Rückzahlungsbetrag in T
T - Fälligkeitstermin des FK
pt - faire Preis der Put-Option (ökonomischer Wert des Kreditrisikos)

Da zwischenzeitlich keine Zinszahlungen erfolgen, ist eine Insolvenz und damit eine Ausübung der Put-Option seitens der Unternehmenseigner nur zum Fälligkeitstermin der Schulden, also in T möglich. Bei der hier betrachteten Optionskomponente des Kredites handelt es sich daher um eine europäische Option. Folgerichtig sollte auch die Put-Call-Parität bei Arbitragefreiheit Gültigkeit besitzen. Das Underlying im Merton-Modell ist der Unternehmenswert Vt. Er ergibt sich als Summe der Marktwerte von Eigen- und Fremdkapital:

 

Vt = EKt+FKt

Mit



und

EKt=ct


Ergibt sich analog der Unternehmenswert zu:



In der letzten Gleichung spiegelt sich die Put-Call-Parität europäischer Optionen wider. Dieser Zusammenhang wird bezogen auf den Fälligkeitstermin anhand der folgenden Abbildung deutlich:


(Abbildung Payoff in T in Abhängigkeit von V_T)

Zur Bewertung des Kreditrisikos kann nun auf die Black und Scholes Formel zur Bewertung von amerikanischen Verkaufsoptionen zurück gegriffen werden. Das möchte ich im Folgenden anhand eines vereinfachten Beispiels tun.

 

Ein Unternehmen ist zurzeit 450 Mio. Euro wert. Der Verschuldungsgrad beträgt VG=3,5, da der Markt das Fremdkapital mit 350 Mio. Euro und das Eigenkapital mit 100 Mio. Euro bewertet. Das Fremdkapital wurde mit Hilfe eines Zerobonds aufgebracht, der in 5 Jahren fällig ist. Sie schätzen, dass die Eigenkapitalrendite 25% bei einer annualisierten Volatilität von 50% betragen wird. Der sichere Zins beträgt r0=4%.

 

Um die erwartete Gesamtkapitalrendite und ihre Streuung ab zu schätzen, tun wir mal so, als ob das Fremdkapital sicher wäre. Unsere Überlegungen beginnen mit der Leverage-Gleichung:

 



Auflösen ergibt:



Es ergibt sich der folgende Wert:



Wenn wir die Formel für das Leverage-Risiko



nach der Streuung der Unternehmenswertrendite umstellen, erhalten wir:




Um nun die Put-Option, also den ökonomischen Wert des Kreditrisikos, zu bewerten, wird eine Kreditlaufzeit von T=5 Jahren angenommen. Der Kredit wird vollständig zu diesem Zeitpunkt getilgt und zwischenzeitlich fallen keine Zinszahlungen an. Wenn nun der sichere Zins als Kreditzins vereinbart worden wäre und der Marktwert des FK dem Kreditbetrag entsprechen würde, müsste in T=5 der folgende Betrag zurückgezahlt werden:

 



Um den Wert der Put-Option zu bestimmen, greifen wir auf die altbewährte Black&Scholes-Formel zurück:



mit



Hinweis: Es gilt: N(-d)=1-N(d).

Der Wert des Underlyings S0 entspricht dem Unternehmenswert V0= 450 Mio. Euro. E ist etwa 450 Mio. Euro. Dabei habe ich die weiter oben errechneten 446,98 Mio. Euro ein aufgerundet. Der innere Wert der Option beträgt also in t=0 in etwa Null. Der stetige Zins ist:



Einsetzen ergibt für d:






Damit ergeben sich die folgenden Werte für die Verteilungsfunktionen der Standardnormalverteilung an den Stellen 0,94 und 0,69:






Damit ergibt sich für den Wert des Puts:



Also ungefähr 10 Mio. Euro pro Jahr der FK Laufzeit. Das entspricht einem Risikoaufschlag von etwa 2,8 %, was mir jetzt als viel zu wenig erscheint. Wahrscheinlich muss man diesen Betrag mit dem Annuitätenfaktor auf Basis des sicheren Zinses über die Laufzeit von 5 Jahren verteilen und dann die sich ergebende Annuität in Bezug zu den 350 Mio. Euro setzen.




Bezogen auf die 350 Mio. Euro FK ergibt das einen Risikoaufschlag von 3,6%. Womit wir bei einer Verzinsung von 7,6% pro Jahr gelandet wären.

 

Natürlich handelt es sich - wie bei allen hier behandelten Modellen - nur um ein Modell. Nichtsdestoweniger liefert es auch in der Praxis relativ passable Ergebnisse, so dass man dem Modell zumindest eine gewisse Praxistauglichkeit nicht absprechen kann. Professor Spremann (2007) schreibt einschränkend auf Seite 408 seines Lehrbuches "Finance", dass es beim Merton-Modell eine gewisse Tendenz zur Unterschätzung der tatsächlich verlangten Risikoprämien gibt.
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