Das Fisher-Modell

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Fisher Modell liefert den konzeptionellen Rahmen für die Kapitalwertmethode. Erstmals wird nun die individuelle Zeitpräferenz der Investoren in Betracht gezogen.Als erstes werde ich den Fall betrachten, dass es noch keinen Kapitalmarkt gibt. Somit besteht die einzige Möglichkeit um Konsum in die Zukunft zu verlagern darin, zu investieren. In einem darauf aufbauenden zweiten Schritt werden wir den Fisher Fall betrachten, der sich vom Ausgangs-Fall lediglich dadurch unterscheidet, dass ein vollkommener Kapitalmarkt als existent angenommen wird. Der vollkommene Kapitalmarkt zeichnet sich dadurch aus, dass keine Transaktionskosten existieren und aus diesem Grund ein einheitlicher Soll- und Habenzins herrscht. Dazu später mehr. Beginnen wir mit dem Ausgangsfall. Wir modellieren das Problem des Zeitwertes des Geldes auf möglichst einfache Art und Weise: Betrachtet werden nur zwei Zeitpunkte t=0 (heute) und t=1 (später). Nur zu diesen Zeitpunkten kann das Individuum konsumieren, dessen Entscheidungssituation wir hier analysieren wollen. Der Entscheider, den ich im Weiteren auch "Investor" nennen werde, hat heute (t=0) ein bestimmtes Vermögen. Sagen wir, er hat 400 Euro in der Kasse: K = 400 Euro. Dieser Kassenbestand K kann entweder heute verkonsumiert werden (Autos, Essen, Kino) oder in die vier zur Verfügung stehenden Investitionsobjekte (A, B, C und D) gesteckt werden. Um das Kalkül des Anlegers möglichst einfach zu halten, wird angenommen, dass die Rückflüsse aller Anlagen sicher sind. Der Investor muss sich folglich keine Gedanken über das Risiko seiner Investitionen machen.
 
InvestitionsobjektInvestitionssummeRückflussRendite
A- 10015050 %
B- 10012020 %
C- 10011010 %
D- 1001055 %

 

Die Reihenfolge der Investitionsobjekte A, B, C, D ist NICHT zufällig, sondern ich habe sie nach ihrer Rendite sortiert. Schließlich wird man sein Geld als erstes in die lukrativsten Projekte stecken. Man beachte, dass der Anleger, wenn er nicht heute seine Kapital auf den Kopf hauen will, es NICHT unter seiner Matratze verstecken wird, da die Matratzen-Investition im besten Fall eine Rendite von 0 % erbringt. Die einzige Möglichkeit, Geld von t=0 nach t=1 zu transferieren, ist die Investitionstätigkeit. Es stellen sich nun zwei Fragen, die es gilt, im Weiteren zu beantworten: Welche Konsum-Konstellation (Konsum heute versus Konsum morgen) wird der Anleger realsieren und darauf aufbauend: wie wird er investieren? Unser Anleger könnte z. B. heute seine gesamten liquiden Mittel verbraten und die ganzen 400 Euro verkonsumieren. Streng nach dem Motto: "Live Now, Go broke!" Das hätte jedoch zur Folge, dass er später gar nichts mehr konsumieren könnte. Er würde folglich die Konsum-Konstellation c0 = 400 Euro und c1 = 0 Euro realisieren. Alternativ könnte er natürlich auch heute nichts konsumieren und sein gesamtes Vermögen in die vier Investitionsobjekte stecken. In diesem Fall würde ihn in t =1 ein Geldbetrag in Höhe von 150 + 120 + 110 + 105 = 485 Euro zur Verfügung stehen. Hm. Er hätte also später mehr zur Verfügung als heute. Allerdings muss er dafür komplett auf Gegenwartskonsum verzichten. Natürlich existieren zwischen diesen beiden Extremfällen noch eine Reihe denkbarer Konsumkonstellationen. Sie sind alle in der folgenden Grafik aufgetragen:

 

 

Der Kurvenschnittpunkt mit der X-Achse ist dabei das Anfangsvermögen oder Eigenkapital des Investors. Je mehr er in t=0 investiert, desto weniger kann er zu diesem Zeitpunkt konsumieren. Entsprechend wird das Investitionsvolumen ausgehend vom Kassenanfangsbestand K auf der X-Achse nach links abgetragen. Dieser Sachverhalt wird in der folgenden Grafik nochmals idealisiert dargestellt:

 

 

Welche Konsumkombination aus Gegenwartskonsum und späterem Konsum wird der Investor, der ja auch gleichzeitig Konsument ist, wählen? Im hier betrachteten Fall gibt es noch keinen Kapitalmarkt. D. h., dass der Investor nur die beiden Möglichkeiten Investition und Konsum hat und sein Geld NICHT auf dem Kapitalmarkt anlegen kann, um unterschiedliche Konsum-Konstellationen heute und Konsum morgen zu realisieren. Hier kann er lediglich Konsumkonstellationen auf der in der Grafik dargestellten Kurve realisieren. Er wird nun den Punkt wählen, auf den er Lust hat. Mit anderen Worten: Er wird die kombinierte Konsum- und Investitionsentscheidung anhand seiner individuellen Zeitpräferenz treffen. Analytisch werden seine Präferenzen durch eine Nutzenfunktion beschrieben. Wie diese Nutzenfunktion U(c0/c1) konkret im Einzelfall aussieht, kann man allgemein leider nicht sagen. Sie kann alle möglichen Verläufe aufweisen, und es sind unendlich viele Varianten vorstellbar. Damit wir hier nicht aufhören müssen, greifen wir einfach uns eine x-beliebige Nutzenfunktion heraus:

 

 

 

Linien im c0 / c1 - Diagramm mit dem gleichen Wert für den Nutzen U, also quasi die Höhenlinien im Nutzengebirge, nennt man Isoquanten. In der folgenden Abbildung sind zwei willkürliche Isoquanten bzw. Nutzenhöhenlinien abgebildet:

 

 

Nach rechts oben hin nimmt der Nutzen zu. Dort geht es also Richtung nicht vorhandenem Gipfel. Unser Investor wird nun, angenommen er hat genau die unterstellte Nutzenfunktion, die Konsum-Kombination wählen, die den höchsten Nutzen erbringt. Das ist natürlich die Konsum-Konstellation, die die Nutzenisoquante mit dem höchsten Nutzen berührt bzw. tangiert. In unserem Zahlenbeispiel ergeben sich für die vier sinvoll möglichen Investitionsportfolios (A, A+B, A+B+C, A+B+C+D) f olgende Nutzen:

InvestitionsportfolioNutzen U(cc1)=c0·c1
-400·0=0
A300·150=45.000
A+B200·270=54.000
A+B+C100·380=38.000
A+B+C+D0·480=0

 

In unserem Fall würde der Investor den höchsten Nutzen für sich selbst herausschlagen können, indem er jeweils 100 Euro in die Projekte A und B investiert. Auf diese Weise könnte er heute 400 Euro - 200 Euro = 200 Euro konsumieren und später in t=1 die Früchte seiner Investitionstätigkeit in Höhe von 150 Euro + 120 Euro = 270 Euro ernten und verkonsumieren. Dadurch erreicht er einen Nutzen von 54.000 Nutzeneinheiten, wie man in der folgenden Abbildung noch einmal verdeutlichen kann:

 

 

Bisher ist die Aussage des Modells im Wesentlichen die, dass ein Anleger selbst unter den einfachsten denkbaren Annahmen (Sicherheit + nur 2 Zeitpunkte) so konsumiert und investiert, wie es ihm gerade in den Kram passt bzw. so, dass er mit Hilfe der Investitionstätigkeit das Maximum der Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung seiner Budgetrestriktion erreicht.

 

So weit so schlecht. Jetzt kommen wir zum eigentlich interessanten Fall, dem Fisher-Fall. Die einzige Erweiterung gegenüber dem Ausgangs-Modell besteht darin, dass ein Kapitalmarkt eingeführt wird, auf dem unbeschränkt Geld angelegt und Kredite aufgenommen werden können. Dieser Kapitalmarkt soll vollkommen sein. Das heißt, dass keine Friktionen und Schmutzeffekte wie beispielsweise Transaktionskosten existieren, so dass ein einheitlicher Soll- und Habenzinssatz herrscht. Man kann auf dem vollkommenen Kapitalmarkt also zum gleichen Zins Geld anlegen und sich Geld leihen. Dieser einheitliche Kapitalmarktzins bestimmt die Steigung der Kapitalmarktgeraden im Konsum-heute-Konsum-später-Diagramm:
 
 
Da man ja soviel Geld anlegen und aufnehmen kann, wie man will, ist nur die Steigung der Gerade fix. Sie kann also hin und her "verschoben" werden. Die Budgetrestriktion entsteht, wie im echten Leben auch, auf Seiten des Investors. Schließlich ist er beispielsweise bei einer Kreditaufnahme nur in der Lage, mit Hilfe seiner Investitionstätigkeit einen bestimmten Betrag zurück zu zahlen. Welche Auswirkungen hat nun der frisch dazu gekommene Kapitalmarkt für unseren Anleger? Im Prinzip hat er jetzt eine Investitionsmöglichkeit mehr. Er kann sein Geld zu i=8% (diesen Zinssatz nehme ich jetzt einfach mal an) auf dem Kapitalmarkt anlegen. Damit fällt für ihn de facto das Investitionsobjekt D mit der mickrigen Rendite von nur 5 % flach. Der Investor wird ja nie in ein Investitionsobjekt investieren, wenn er doch auf dem Sparkonto eine höhere Verzinsung auf sein Kapital erhält. Dieses intuitiv sofort einsichtige Ergebnis kann man sich auch graphisch sehr gut verdeutlichen:
 
 
 
In der Abbildung wurde die Kapitalmarktgerade so verschoben, dass sie die Konsum-Konstellations-Kurve tangiert. Dieser Tangentialpunkt beschreibt das optimale Investitionsprogramm. Im optimalen Investitionsprogramm ist kein Platz für Investitionsobjekte, die eine Rendite unterhalb des Kapitalmarktzinses erbringen. Das erkennt man in der Abbildung sehr schön im Bereich links vom optimalen Investitionsprogramm: Die Kapitalmarktgerade steigt stärker an, als die Renditegerade der Investition. Ihr fragt Euch bestimmt, weswegen es jetzt plötzlich, anders als beim Ausgangs-Modell, ein optimales Investitionsprogramm gibt. Schließlich war die Investitionstätigkeit im Ausgangs-Modell ohne Kapitalmarkt doch von den persönlichen Konsumpräferenzen abhängig. Die Antwort ist einfach: Der Investor kann jetzt, dank des neu dazugekommenen Kapitalmarktes, jede Konsum heute/Konsum später Kombination auf der Kapitalmarktgerade realisieren. Er wird deshalb versuchen die Kapitalmarktgerade soweit wie möglich nach rechts zu verschieben. Mit anderen Worten: Er investiert so, dass er insgesamt so reich wie möglich wird. Deshalb tätigt er jede Investition mit einer Rendite, die größer als der Kapitalmarktzinssatz ist. Seine Konsumentscheidung ist davon unabhängig, da er jede Konsum-Kombination heute und morgen durch Kreditaufnahme bzw. Geldanlage realisieren kann. In den beiden folgenden Abbildungen sind mal zwei optimale Konsumkonstellationen für zwei unterschiedliche Nutzenfunktionen skizziert:
 
 





Das ist auch schon die Kernaussage des Modells von Fisher: Das so genannte Fisher-Seperations-Theorem besagt, dass die Investitionsentscheidung unabhängig von der Konsumentscheidung getroffen werden kann. Es wird das Investitionsprogramm realisiert, dass die Kapitalmarktgerade so weit wie möglich nach rechts verschiebt. Die konkrete Konsum-Kombination wird dann nach den persönlichen Präferenzen mit Hilfe von Markttransaktionen gewählt. Dabei kann jede Konsum-Konstellation auf der Kapitalmarktgeraden realisiert werden. In unserem Beispiel ist das optimale Investitionsvolumen A+B+C. Welche Auswirkungen hat diese Investitionsentscheidung auf die Konsummöglichkeiten des Anlegers? Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns zunächst einmal wieder die Extremfälle an: Entweder totaler Gegenwartskonsum, oder vollständiger Konsum zum Zeitpunkt t=1. Wie viel kann nun der Investor heute maximal konsumieren? Die Antwort lautet: Sein Anfangsvermögen plus den Kapitalwert seiner Investition. Wenn er das optimale Investitionsprogramm A+B+C durchführt, erhält er für seine investierten 300 Euro in t=1 380 Euro zurück. Da er morgen 380 Euro in Händen halten wird, kann er schon heute einen Kredit aufnehmen. Auf diesen Kredit muss er i=8% Zinsen zahlen, d. h. wenn er in t=0 einen Betrag von
 
 
aufnimmt, kann er diesen mit den Rückflüssen aus seiner Investitionstätigkeit in Höhe von 380 Euro = 351*1,08 vollständig zurückzahlen. Die folgende Rechnung verdeutlicht wie viel der Investor heute maximal verkonsumieren kann:
 
Kredit:351,85 Euro
Anfangsvermögen:400 Euro
Investitionssumme:300 Euro
Konsum in t=0:451,85 Euro

Der Investor hat sich offensichtlich gegenüber dem Ausgangs-Fall um 51,85 Euro, was seine maximalen heutigen Konsummöglichkeiten anbelangt, verbessert. Er ist quasi heute (in t=0) um 51,85 Euro reicher geworden! Diesen Vermögenszuwachs nennt man den Kapitalwert der Gesamtinvestition. Die Formel für den Kapitalwert (Englisch: Net Present Value – NPV) lautet hier:

 

 

Der Kapitalwert beträgt hier also gerade:

 

 

Alternativ kann der Investor auf heutigen Konsum komplett verzichten und sein über das optimale Investitionsvolumen hinausgehende Vermögen am Kapitalmarkt zu i =8% anlegen. Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie viel er dann in t=1 konsumieren kann:

Anfangsvermögen400 Euro
Investitionssumme:300 Euro
Geldanlange auf dem Sparkonto:100 Euro
Konsum in t=1:380+108=488 Euro

 

Unser Investor kann also 3 Euro mehr als im Fall ohne Kapitalmarkt in t=1 konsumieren. Damals konnte er seinen Konsum nur durch die Realisierung aller vier Investitionen vollständig in die Periode 1 verlagern, während er nun in der Lage ist, die Investition D durch die vorteilhafte Anlage am Kapitalmarkt zu ersetzen. Wenn er seine gesamten liquiden Mittel in t=0 aufs Sparbuch gelegt hätte, dann hätte er in t=1 in Höhe von 400·1,08=432 Euro konsumieren können. Die Differenz zwischen den 488 Euro bei optimaler Investition und sparen der restlichen flüssigen Mitteln und den 432 Euro bei reinem Sparen, nennt man Endwert der Investition. Der Endwert des optimalen Investitionsprogramms ist also 488 – 432 = 56 Euro groß. Diese 56 Euro kann man in der üblichen Abbildung zum Fisher-Modell im Konsum-heute-Konsum-morgen-Diagramm nicht direkt erkennen. Der Endwert entspricht dem aufgezinsten Kapitalwert: 56 Euro = 51,85*1,08 Euro. Am einfachsten kann man sich Kapitalwert und Endwert im Fisher-Modell graphisch veranschaulichen, indem man den Fall untersucht, dass der Investor in t=0 KEIN eigenes Vermögen mitbringt. Er realisiert das optimale Investitionsvolumen vielmehr VOLLSTÄNDIG auf pump. Damit ist gemeint, dass er sich die benötigten 300 Euro leiht. Daraus folgt, dass er in t=0 maximal den Kapitalwert der Investition konsumieren kann, wenn er auf Konsum morgen, also in t=1 verzichtet. Alternativ könnte er vollständig auf Gegenwartskonsum verzichten und könnte dann in t=1 gerade den Endwert konsumieren. Die Graphik sieht dann folgendermaßen aus:

 



Man erkennt schön den Kapitalwert auf der X-Achse, um den der Investor heute reicher geworden ist. Oder den Endwert auf der Y-Achse, um den er in t=1 reicher geworden ist. Dabei ist der Endwert nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert. Schön oder? Was sind nun die Erkenntnisse des Fisher-Modells? Ganz wichtig: Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt, auf dem Soll- und Habenzins gleich sind, ist die optimale Investitionsentscheidung unabhängig von den Konsumpräferenzen. Es wird das Investitionsvolumen mit dem maximalen Kapitalwert realisiert. Die intertemporale Konsumentscheidung der Entscheider ist von der Investitionsentscheidung unabhängig und richtet sich nach ihren persönlichen Präferenzen.
Literaturverzeichnis

Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 89-102

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