2-stufiges Hedging

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


In der Praxis wird das Wechselkurs-Risikomanagement mit Termingeschäften auch dadurch erschwert, dass für die ab zu sichernde Fremdwährungsposition unter Umständen keine Terminkontrakte mit entsprechender Laufzeit verfügbar sind. In diesem Fall kann man sich behelfen, indem man mehrere Termingeschäfte hintereinander schaltet.

 

Um das Problem zu illustrieren, betrachten wir hier die einfachste Version dieses Problems: In t=2 wird die sichere Fremdwährungsposition X erwartet, die bereits heute in t=0 abgesichert werden soll. Allerdingst steht in t=0 nur einperiodige Termingeschäfte zu Verfügung. Daher muss in t=1 erneut ein Termingeschäft zum heute noch unbekannten Terminkurs 74 ilde{t}_{1-2} abgeschlossen werden.

 

Das Optimierungskalkül beim zweistufigen Hedging ist etwas schwieriger als beim einstufigen, da nun zwei Wechselkurse - nämlich w1 und w2 unsicher sind. Falls das Ziel der Varianzminimierung verfolgt wird und man Zinseffekte der einfachtheithalber vernachlässigt, kann das Hedging-Problem rekursiv gelöst werden: Zunächst wird der optimale Hedging-Betrag in t=1 unter der Annahme bestimmt, dass man die Entscheidungssituation in t=1 kennt und folgerichtig w1 und t1-2 bereits bekannt sind. Vor diesem Hintergrund wird die Entscheidungsregel H1(t1-2, w1) hergeleitet.

 

In einem zweiten Schritt kann nun der optimale Hedgingbetrag H0 in Kenntnis der Entscheidungsregel für H1 bestimmt werden. Allgemein ergibt sich dann in t=2 das folgende Endvermögen

 



(Abbildung)

Umformen ergibt:



Als Erstes wird die Entscheidungsregel für die Höhe des optimalen Termingeschäftes in t=1 bestimmt. Die Höhe von H1 wird in t=1 festgelegt. Zu diesem Zeitpunkt ist w1 und t1-2 bereits bekannt und daher nicht mehr unsicher. Die Unsicherheit über das Endvermögen resultiert folglich allein aus dem unsicheren Wechselkurs w2 in t=2:

 



Wir nehmen erneut an, dass das Ziel des Risikomanagements die Minimierung der Varianz des Endvermögens ist. Das Varianzminimum wird nach dem alt bekannten Kochrezept bestimmt, indem die Varianz nach H abgeleitet, gleich Null gesetzt und nach dem optimalen Hedgingbetrag aufgelöst wird. Wir erhalten:

 



Das ist jetzt nicht weiter überraschend, da sich das in t=1 stellende Problem nicht vom normalen einstufigen Hedging unterscheidet.


Im nächsten Schritt wird nun H0,opt bestimmt. Dazu setzen wir das optimale H1=-X ein:





Die Varianz des Endvermögens ergibt sich mit der bereits weiter oben verwendeten Rechenregel zu:



Um das Varianzminimum zu bestimmen, wird erneut nach H0 abgeleitet, nullgesetzt und nach H0opt umgestellt:



Offensichtlich ist in t=0 wieder ein Beta-Hedge optimal! Wären der Kassakurs w1 und der Terminkurs t1-2 unkorreliert, würde man in t=0 kein (!) Termingeschäft abschließen und in t=1 einen Vollhedge durchführen. In diesem Spezialfall der stochastischen Unabhängigkeit zwischen w1 und t1-2 hätte das Termingeschäft in t=0 keinen ausgleichenden Effekt auf das Endvermögen in heimischer Währung in t=2.


Wahrscheinlicher ist jedoch, dass es einen solchen stochastischen Zusammenhang gibt, so dass gilt:



Mit anderen Worten: Wenn der w1 steigt (fällt), dann steigt (fällt) auch der Terminkurs t1-2. Das Endvermögen, dessen Streuung durch intelligente Wahl von H0 und H1 minimiert werde soll, besteht aus 3 Komponenten:

 



Im Rahmen der rekursiven Lösung, ersetzt man H1 durch die abgeleitete Entscheidungsregel in t=1 und setzt H1=-X:



Wenn man in t=0 kein Termingeschäft durchführt, wird die Varianz von YH in t=2 durch den unsicheren Terminkurs t1-2 bestimmt. Sie kann gesenkt werden, wann sich w1 und t1-2 tendenziell gleich (nach oben und nach unten) entwickeln.

 

Gewinne aus dem ersten Termingeschäft aufgrund eines höheren w1 gleichen tendenziell die Verluste aus dem teureren Termingeschäft in t=1 aus und vice versa. Wir nutzen also den stochastischen Zusammenhang zwischen Kassakurs und Terminkurs zur Glättung des Endvermögens.
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