Cross-Hedging und selektives Hedging

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Mal angenommen, wir wollen die Varianz des Endvermögens in inländischer Währung minimieren, es stehen jedoch mit der Zielwährung keine Devisenterminkontrakte zur Verfügung. In diesem Fall bietet es sich an, den stochastischen Zusammenhang zu einer Drittwährung aus zu nutzen, für die die benötigten Terminkontrakte vorhanden sind. Wir wollen quasi "über Kreuz hedgen". Deshalb heißt die Drittwährung "Cross-Hedging-Währung".


Um die Varianzminimierung beim Cross-Hedging analytisch sauber betrachten zu können, fehlen uns noch die folgenden Variablen:

wZiel = Wechselkurs mit der Zielwährung

tCH = Terminkurs mit Cross-Hedging Währung

wCH = Kassawechselkurs mit CH-Währung

Für das unsicher Endvermögen gilt:





Da nun 2 unsichere Wechselkurse für das Risiko der Gesamtposition ursächlich sind, gilt es die Streuung von YH zu bestimmen. Dazu greifen wir auf die folgende Rechenregel zurück:

 



Diese Rechenregel ist übrigens ein alter Bekannter: Wir haben sie bereits im Rahmen der Portfolio-Optimierung nach Markowitz in F & I 1 kennen gelernt. Dort finden Sie auch die Herleitung für diese Rechenregel mit Hilfe der Definitionsgleichung der Varianz.


Aber zurück zur Varianzminimierung beim Cross-Hedging:

 

 

Diese Funktion gilt es nun, durch eine geschickte Wahl von H ab zu sichern! Ableiten, Nullsetzen und Umformen ergibt den optimalen Hedgingbetrag Hopt, für den übrigens auch die zweite Optimalitätsbedingung erfüllt ist. Es gilt:

 



 

Der optimale Hedgingbetrag beim Cross-Hedging sieht aus wie beim Beta-Hedging. Allerdings bezieht sich hier das Beta auf etwas anderes als beim zweistufigen Hedging, das wir später noch kennen lernen werden! Hier geht es um den stochastischen Zusammenhang zwischen dem Ziel-Wechselkurs und der Cross-Hedging-Währung. Beim später thematisierten Beta-Hedging geht es um den stochastischen Zusammenhang zwischen dem zukünftigen Kassakurs und dem aktuellen Terminkurs.
 
 
 
Mit Hilfe einer linearen Regression sollte zunächst das Beta zwischen wZiel und wCH bestimmt werden. Das abgeleitete Ergebnis erscheint plausibel: Je stärker der stochastische Zusammenhang - ausgedrückt durch Beta - ist, desto höher sollte der Betrag in der Cross-Hedging Währung sein, der auf Termin verkauft wird.

Welche Währung ist nun besonders geeignet, um als Cross-Hedging Währung zu dienen? Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns die Restvarianz nach dem Hedging an: Einsetzen des optimalen Hedging-Betrages liefert:



 

Die Kovarianz ist gleich dem Produkt aus dem Korrelationskoeffizienten ρ und den Standardabweichungen der beiden Wechselkurse:

 



Damit lässt sich die Restvarianz des mit Hilfe des Termingeschäftes in der Kreuz-Hedging-Währung schreiben als:



 

Wir erkennen: Je stärker die Cross Hedging Währung mit der Ziel-Währung korreliert, desto besser ist sie als Cross Hedging Währung geeignet! Dabei ist das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten ρ aufgrund des Quadrates egal: Wichtig ist nur, dass sein Betrag möglichst groß ist!

 

Selektives Hedging

 

Neben der Varianzminimierung könnte auch eine andere Zielsetzung im Rahmen des Währungsrisikomanagements mit Termingeschäften plausibel sein: Die Maximierung des Sicherheitsäquivalentes. Da in diesem Fall zur reinen Absicherung des Grundgeschäfts eine spekulative Komponente hinzutritt, spricht man bei dieser Hedgingstrategie auch vom "selektiven Hedging".


Die Zielfunktion Φ könnte z. B. folgendermaßen lauten:



 

Dabei ist R ein Maß für die Risikoaversion des Entscheiders. Der Zielwert ist tendenziell umso größer je größer der Erwartungswert des unsicheren Endwertes in inländischer Währung ist. Außerdem ist der Zielwert umso kleiner, je größer die Streuung des Endvermögens ist. Tendenziell sollte diese Streuung umso stärker ins Gewicht fallen, je größer die Risikoaversion des Entscheiders ist. Diese wird durch die Maßzahl R abgebildet. Natürlich lässt sich über die genaue mathematische Formulierung trefflich streiten und in der Tat sind ja noch beliebig viele andere Zielfunktionen denkbar. Die hier verwendete Zielfunktion ist ein alter Bekannter aus der klassischen Portfoliooptimierung. Dort wurde jedoch nicht mit Endwerten sondern mit Renditen argumentiert. Das aber nur am Rande.


Mit:



ergibt sich die folgende zu maximierende Zielfunktion:


Ableiten nach H, Nullsetzen und Auflösen nach dem optimalen Hedgingbetrag ergibt:

 
Die Abweichung des optimalen Hedging-Betrages vom Vollhedge ist beim selektiven Hedging auf den rechten Bruch zurück zu führen. Dieser "Zockeranteil" bzw. dieses spekulative Komponente ist umso größer je besser prognostizierbar der zukünftige Wechselkurs ist. Außerdem ist sie umso kleiner je größer die Risikoaversion des Entscheiders ist. Ein Ergebnis, das uns nicht wirklich überrascht!
 
 
 
 
 
Interessant ist auch der Zähler: Es wird umso mehr gezockt, je stärker der individuell erwartete Wechselkurs vom aktuellen Terminkurs abweicht. Dabei kann vom Referenzfall des Vollhedges nach oben und nach unten abgewichen werden. Das Vorzeichen der Spekulationskomponente hängt davon ab, ob die individuelle Kassakurs-Erwartung über oder unterhalb der Markterwartung liegt, die sich wiederum in t widerspiegelt.
 
 
 
 
 
Sollte der vom Entscheider erwartete Wechselkurs dem aktuellen Terminkurs entsprechen E(w)=t, dann unterscheidet sich das Ergebnis nicht (!) vom dem Ergebnis, das sich im Rahmen der Varianzminimierung des Endvermögens ergab!
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