Bewertung von Devisenoptionen (2-Punkt Verteilung)

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Devisenoptionen verbriefen das Recht zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäische Option) bzw. innerhalb einer festgelegten Zeitspanne (amerikanische Option) eine Devise zu einem vereinbarten Preis (dem Exercise Price bzw. dem Strike) zu kaufen (Call) bzw. zu verkaufen (Put). Die Bewertung der Devisenoptionen erfolgt mit Hilfe eines Äquivalenzportefeuilles, das zu den gleichen oder anders ausgedrückt zu äquivalenten Rückflüssen wie die Devisenoption führt. Die Aufbaukosten eines solchen Portfolios entsprechen dem fairen Preis der Devisenoption.
Um die Betrachtung möglichst einfach zu halten, werde ich nur europäische Optionen und nur die eine sehr einfache Wechselkursverteilung - nämlich eine Zwei-Punkt-Verteilung oder Bernoulli-Verteilung betrachten.
Das Ziel der im Weiteren angestellten Überlegungen ist es, den Wert der Option zum Zeitpunkt t=0 zu bestimmen. In diesem Zeitpunkt ist der Wechselkurs gerade w0. Zum Ausübungstermin T kann er - wie wir hier vereinfachend annehmen - nur 2 Werte annehmen: w1 oder w2.

 

Damit die Optionsbewertung nicht trivial wird, nehmen wir für den Ausübungspreis E an, dass er zwischen den beiden möglichen Ausprägungen liegt:

$$ w_2 < E < w_1 $$

Interessant sind die beiden Nebenbedingungen für die Zinssätze im In- und im Ausland ri und ra. Betrachten wir zunächst den Fall der Kaufoption: Damit ihr rechnerischer Wert nicht negativ wird, muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

 



Die Geldanlage im Inland muss mindestens genauso lukrativ, wie die Geldanlage im Ausland im Fall des niedrigen Wechselkurses sein. Umformen ergibt:



Die Anlage im Inland darf für unsere Wechselkursverteilung keine dominante Strategie sein. Das bedeutet, dass die festverzinsliche Anlage im Inland keine höhere Rendite erbringen darf als die Anlage im Ausland für den Fall, dass der hohe Wechselkurs eintritt:

 



Umformen ergibt:



Andernfalls wäre der rechnerische Wert der Verkaufsoption negativ. Die sichere Verzinsung einer Anlage im Inland (1+ri) darf nicht größer sein als die wegen des Wechselkurs-Risikos riskante Auslandsanlage im günstigen Fall mit dem hohen Wechselkurs w1. Andersherum besagt diese Nebenbedingung, dass der riskante Auslandskredit im dann ungünstigen Fall des hohen Wechselkurses höhere Zinskosten als der sichere Kredit im Inland verursacht.


Das Äquivalenzportfolio, das auch Duplikationsportfolio genannt wird, soll die gleichen Rückflüsse wie die Devisenoption liefern. Im Falle der Kaufoption wären diese Rückflüsse gerade:



Wir betrachten hier eine Kaufoption auf 1 US-Dollar in Euro. Bei einem größeren Dollar-Betrag müsste selbstverständlich noch ein Skalierungsfaktor bei den Rückflüssen berücksichtigt werden. Das Duplikationsportfolio besteht bei der Kaufoption auf 1 Dollar in Euro aus einer Geldanlage in Dollar L[$] und einer Kreditaufnahme in Euro K[€]. Der faire Preis des Devisencalls ist gleich den Aufbaukosten des Duplikationsportfolios:

 



In der folgenden Tabelle wird das DPF erläutert:

  t=0 Rückfluss in t=T
USA Geldanlage im Ausland: L L·(1+ra)T·wT
Euroland Kreditaufnahme im Inland: K -K(1+ri)T
Aufbaukosten w0·L-K  



Vergleichbar zum Vorgehen bei der Bestimmung des DPF eines Devisencalls ist das Vorgehen bei der Bestimmung des Äquivalenzportfolios für einen Devisenput. Allerdings sind hier die Vorzeichen vertauscht: Der hohe Rückfluss kommt beim Put im Falle des niedrigen Wechselkurses w2. Aus diesem Grund sind auch die Vorzeichen der beiden Komponenten des Duplikationsportfolios vertauscht!

 

Es setzt sich aus inländischer Geldanlage L[€] und ausländischer Kreditaufnahme K[$] zusammen! Im "schlechten" Falle des hohen Wechselkurses kostet der Dollar in Euro sehr viel und man kann mit dem im Inland angelegten Geld gerade den ausländischen Kredit zurückzahlen. Sollte der bei Verkaufsoption "gute" Fall des niedrigen Wechselkurses eintreten, benötigt man nicht den gesamten Rückfluss des im Inland angelegten Kapitals, um die Auslandsverbindlichkeiten zu begleichen. Es bleibt noch etwas "übrig"!


Der faire Preis der Option ist auch beim Put gleich den Aufbaukosten dieses Äquivalenzportfolios:



Der entscheidende Unterschied zum Call sind die zu duplizierenden Rückflüsse beim Put:

 

Das Vorgehen zur Bestimmung des fairen Preises ist nun bei beiden Optionsarten das gleiche: Die Rückflüsse des DPFS werden gleich den Optionsrückflüssen gesetzt. Auf diesem Wege erhält man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten: Der inländischen Kreditaufnahme K[€] und der ausländischen Geldanlage L[$].

 

Als Erstes bestimmen wir den fairen Preis des Calls auf einen US-Dollar in Euro, indem wir die Callrückflüsse gleich den Rückflüssen aus der Geldanlage im Ausland mit anschließendem Umtausch und der Kreditaufnahme im Euroland gleich setzen:
 

 



Lösung des Gleichungssystems liefert:


 



Damit ergibt sich ein Callpreis in Höhe von:

 



Voila! Das ist die gesuchte Bewertungsgleichung für den fairen Preis der Devisenkaufoption. Um den bei Arbitragefreiheit geltenden Preis eines Devisenputs zu bestimmen, können wir auf die Put-Call-Parität zurück greifen. Weiter oben hatten wir bereits hergeleitet, dass die Rückflüsse eines Forwards sich mit Hilfe einer Position aus einem Long Call und einem Short Put duplizieren lassen. Es gilt:

 



Der Putpreis p0 lässt sich nun einfach bestimmen, indem wir zunächst die Put-Call-Parität nach p0 umstellen und dann die Formel für den fairen Callpreis einsetzen. Es ergibt sich dann der folgende Put-Preis:

 



Natürlich hätte man den fairen Preis des Puts auch "zu Fuß" bestimmen können, indem man das folgende Gleichungssystem löst:





Die beiden Gleichungen beruhen auf der Annahme, dass das DPF die gleichen Rückflüsse wie der Devisenput liefert! Die beiden Unbekannten sind schnell bestimmt: Die gesuchte Geldanlage im Inland beträgt:

 



und die Kreditaufnahme im Ausland ergibt sich zu:



Damit betragen die Aufbaukosten für das ÄPF, die gleich dem fairen Preis für den Put sein sollten:

 

Offensichtlich kommt man auf beiden Wegen - egal ob man die Put-Call-Parität verwendet oder das DPF verwendet - stets zum gleichen Optionspreis.

 

Nachdem wir nun das grundlegende Bewertungsprinzip kennen gelernt haben, glauben wir daran, dass man auch faire Optionspreise bei kontinuierlich gehandelten Optionen und kontinuierlichen Devisenkursverteilungen bestimmen kann.

 

Interessant ist vielleicht noch, wie sich der Optionspreis tendenziell verändert, wenn sich eine der Preisdeterminanten verändert. In Finanzierung und Investition 1 hatten wir in diesem Zusammenhang Optionssensitivitätskennzahlen, die so genannten "Greeks", kennen gelernt. Vergleichbare ceteris paribus Betrachtungen lassen sich natürlich auch für Devisenoptionen anstellen. Die folgende Tabelle fasst die Einflussfaktoren zusammen:

 

Einflussfaktor Preis des Calls Preis des Puts
Strike E - +
Restlaufzeit T + +
Inlandszins ri + -
Auslandszins ra - +
Wechselkurs in t=0 w0 + -
Streubreite um den erwarteten WK + +
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