Bewertung eines Devisenforwards bzw. Devisenfutures und die Put-Call-Parität bei Devisenoptionen

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Die Put-Call-Parität bei Devisenoptionen

Bei Futures und Forwards handelt es sich um unbedingte Termingeschäfte. Dabei wird bereits heute ein Preis vereinbart, zu dem man in Zukunft Devisen kauft bzw. verkauft. Im Gegensatz zu Forwards handelt es sich bei Futures um stark standardisierte und ständig gehandelte Terminkontrakte mit hoher Liquidität. (Weitere Details bitte bei F & I 1 nachlesen!)

 

Der Wert eines solchen Devisenterminkaufes von beispielsweise einem Dollar zum Fälligkeitstermin ist:



Wenn der tatsächliche Kassakurs wT zum Fälligkeitszeitpunkt T über dem Terminkurs liegt, zu dem der Kontrakt geschlossen wurde, dann hat der Forward einen positiven Wert - andernfalls einen negativen. (Hierzu eine kurze Anmerkung: Bei Termingeschäften können auch bereits während der Laufzeit Liquiditätsauswirkungen auftreten, wenn sich der Futurepreis zu Ungunsten einer der Vertragsparteien entwickelt, da dann Nachschussverpflichtungen beim Clearinghouse fällig werden! Wenn man die Position bis zum Zeitpunkt T hält und allen möglichen Nachschussverpflichtungen nachkommt, dann ergibt sich der Wert des Devisentermingeschäfts wie oben beschrieben.)

 

Die ex-ante Bewertung des Futures erfolgt mit Hilfe des Äquivalenzportefeuilles, das die gleichen Rückflüsse wie das Termingeschäft generiert und folglich ex-ante bei unterstellter Arbitragefreiheit den gleichen Wert haben sollte.

 

Um zum Zeitpunkt T eine Einzahlung in Höhe von wT Euro zu erhalten, benötige ich in T einen Dollar. Der Preis dieses zukünftigen sicheren Dollars beträgt:

 



Um in T einen sicheren Dollar zu erhalten, muss zunächst zum aktuellen Wechselkurs w0 der mit dem ausländischen sicheren Zins diskontierte eine Dollar gekauft werden. Dieser wird dann über T Perioden zum sicheren ausländischen Zinssatz angelegt, so dass man in T über einen Dollar verfügt, der die unsichere Euro-Auszahlung in Höhe von wT erbringt!

 

Für die Bezahlung des Devisenterminkaufs in Höhe von t0T Euro müsste ich heute im Inland den diskontierten Terminkaufpreis für einen Dollar zum sicheren inländischen Zins anlegen.

 

Der heutige Wert des Devisenterminkaufes eines Dollars ist gerade die Differenz zwischen dem heutigen Wert des zukünftigen Dollars und dem heutigen Terminpreis für eben diesen:

 

 

Wenn diese Differenz ungleich 0 ist, dann hat eines der beiden Teilgeschäfte einen Wert, der sichere Arbitragegewinne ermöglichen würde. Aus diesem Grund sollte der Wert des Devisenterminkaufes einen Barwert von 0 haben! Es gilt:

 



Umformen führt wieder auf die Zinsparität:



Anhand der letzten Gleichung lässt sich erkennen, dass der Terminkurs in ri steigt und mit steigendem Auslandszins fällt.


Put-Call-Parität bei Devisenoptionen

Nachdem wir den fairen Preis eines Devisenterminkaufes (Forward bzw. Future) bestimmt haben, ist es nur noch ein kleiner Schritt zur Put-Call-Parität bei Devisenoptionen: Denn die Rückflüsse des Devisenterminkaufes entsprechen den Rückflüssen einer Kombination aus einer gekauften Devisenkaufoption und einem ausgegebenen Devisenput, bei sonst gleicher Ausgestaltung und unter der Annahme, dass der Terminkurs dem Strike entspricht.

 

Diesen Zusammenhang kann man sich sehr schön grafisch verdeutlichen; Dazu wird das Auszahlungsprofil des Forwards und der Kombination aus Long Call und Short Put in Abhängigkeit vom Wechselkurs zum Fälligkeitstermin betrachtet.


(Bild: Synthetischer Terminkontrakt)

Weiter oben hatten wird den Wert des Forwards mit Hilfe des Prinzips der Arbitragefreiheit bestimmt:



Damit lautet die Put-Call-Parität bei Devisenoptionen:



Sie gilt sowohl für kontinuierlich verteilte Wechselkurse als auch bei unterstellter Zweipunktverteilung des Wechselkurses (siehe unten).

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