Zerobond und Kuponanleihe

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


 Börsennotierte Unternehmen können Fremdkapital am Kapitalmarkt durch die Ausgabe von Anleihen einsammeln. Das sind standardisierte Finanzierungsinstrumente mit hoher Fungibilität. Sie ermöglichen es den Gläubigern, ihre Forderung ohne Probleme an der Börse weiter zu verkaufen. Das ist z. B. beim klassischen Kredit erheblich schwieriger.

Auf Englisch spricht man von so genannten "bonds". Im Deutschen werden Anleihen alternativ auch als Schuldverschreibungen oder Industrieobligationen bezeichnet. Auch Vater Staat bedient sich der Anleihen, um die aktuelle Steuerlast nicht noch weiter ausufern zu lassen. Da wir davon ausgehen, dass Deutschland in Zukunft nicht pleitegeht, gilt die Verzinsung, die man auf Staatsanleihen erhält als sicher. Diese sichere Rendite ist bei der Portfolio-Optimierung als Referenzverzinsung bedeutsam.

Im Weiteren werden wir uns mit der Zahlungsstruktur zweier typischer Anleihen beschäftigen. Nämlich der des Zerobonds und der Kuponanleihe. Die Kuponanleihe hat einen bestimmten Nennbetrag. Sagen wir, dass er beispielsweise 100 € beträgt. Gehen wir weiterhin davon aus, dass die Anleihe pari ausgegeben wird. Damit ist gemeint, dass weder einen Ausgabeabschlag - ein sogenanntes Disagio - noch ein Ausgabeaufschlag - ein sogenanntes Agio - vereinbart wurde, sondern dass der Schuldner genau den Nennbetrag für die Anleihe zahlt.

Die Zahlungsstruktur bei der Kuponanleihe sieht dann aus Sicht der Gläubiger, bei einem unterstellten Kuponzins von 10 % und einer Laufzeit von T=3 Jahren folgendermaßen aus: (-100 €, 10€, 10€, 110€)

Bei Nullkuponanleihen, also den Zero-Bonds, werden zwischenzeitlich keine Zinszahlungen getätigt. Ist halt "Zero" mit den Kupons. Zerobonds werden häufig unter pari ausgegeben und dann pari zurückgezahlt. Wir schauen uns hier zwecks besserer Vergleichbarkeit mit der Kuponanleihe jedoch den Fall einer Ausgabe zu pari an. Wenn alle anderen Eckdaten die gleichen wie bei der Kuponanleihe sind, ergibt sich die Zahlungsreihe aus Sicht des Gläubigers zu:

(-100 €, 0, 0, 100·1,13 = 133,10€)

Da nur eine einzige Zahlung am Ende der Laufzeit erfolgt, spiegelt sich in den Zerobondzinssätzen sehr gut der Zeitwert des Geldes wieder. Mit Hilfe der Zerobondzinssätze können Zahlungen zwischen in diesem Fall t=3 und t=0 hin und her transformiert werden. Da auf den Kapitalmärkten Zerobondzinssätze mit unterschiedlicher Laufzeit zu beobachten sind, kann man mit ihrer Hilfe Zinsstrukturkurven erheben. Dabei stellte sich heraus, dass bei "normaler" Zinsstruktur langfristige Zinssätze höher als kurzfristige sind. Das ist natürlich auch für die Anwendung der weiter oben kennen gelernten Kapitalwertmethode interessant. Schließlich geht man implizit bei Verwendung eines Kalkulationszinssatzes davon aus, dass eine flache Zinsstrukturkurve vorliegt. In Ausnahmefällen kommt es auch vor, dass eine inverse Zinsstrukturkurve auftritt. Dann sind die kurzfristigen Zinssätze höher als die langfristigen. Die laufzeitabhängigen Zerobondzinssätze kann man nun zur Barwertberechnung heranziehen:

 

 

Dabei stehen die zt für die Zerobondzinssätze mit der Laufzeitzeit t. Diese Barwertberechnung will ich nun zunächst anhand der Zahlungsreihe bei der Kuponanleihe zeigen: Bleiben wir im bisherigen Zahlenbeispiel. Ziel ist es nun die Bewertung einer Kuponanleihe mit drei jähriger Laufzeit. Dazu benötigen wird zusätzlich für die zwischenzeitlichen Kuponzinszahlungen zu den Zeitpunkten t=1 und t=2 Zerobond-Marktzinssätze. Ich gehe hier von einer normalen Zinsstrukturkurve aus, was sich in den Zerobondzinssätzen widerspiegelt: Die niedrigste jährliche Verzinsung erbringen Nullkuponanleihen mit einjähriger Laufzeit (z1=8%) und bei zweijähriger Laufzeit sollen sie etwas höher sein: z2=9%.

Anhand der Formel kann ich den Barwert des Zahlungsstromes berechnen, auf den der Halter der Kuponanleihe berechtigt ist:

 

 

Moment Mal!!! Hier kann doch etwas nicht stimmen? Wir haben gerade ausgerechnet, dass ein Käufer der Anleihe für 100 € Kaufpreis einen Finanztitel - nämlich die Kuponanleihe - kaufen kann, der auf einen Zahlungsstrom berechtigt, dessen Marktwert eigentlich 100,32 € sein müsste. Hier scheint etwas nicht zu stimmen! Tatsächlich habe ich das Beispiel extra so gewählt, dass ein in der Finanzierungstheorie wichtiges Prinzip verletzt ist: Die Arbitragefreiheit. Was ist damit gemeint?

Auf Kapitalmärkten sind eine Menge schlauer Köpfe unterwegs, die viel Energie darauf verwenden, Fehlbewertungen zu entdecken. Doch: Was ist eine falsche Bewertung? Das ist bei absoluten Preisen sehr schwer zu sagen. Jedoch beim Vergleich verschiedener Positionen kann man durchaus Aussagen über ihr Verhältnis machen. Entdeckt man nämlich äquivalente Positionen, die auf die gleichen zukünftigen Zahlungen berechtigen, mit unterschiedlichen Preisen, dann besteht die Möglichkeit, einen Arbitrageerfolg durch Kauf der billigeren Position und Verkauf der teureren Position zu realisieren. Durch den einsetzenden Handel kommt es zu einer Preisanpassung, bis schließlich die äquivalenten Positionen den gleichen Preis haben. Reale Kapitalmärkte sind sehr nah an dem Ideal der absoluten Arbitragefreiheit dran. Es ist also sehr schwer einen Arbitrageerfolg bzw. wie man auf Englisch auch sagt einen "Free Lunch" - also ein kostenloses Mittagsessen zu erzielen.

Was sind hier nun die äquivalenten Positionen? Wir vergleichen im Prinzip zwei Möglichkeiten, wie man sich die Berechtigung auf den zukünftigen Zahlungsstrom (10,10,110 €) verschaffen kann: Die eine wäre eine Kuponanleihe zu kaufen. Die andere wäre ein Portefeuille aus verschiedenen Zerobonds mit den Laufzeiten T=1, T=2 und T=3 zu kaufen. Um auf den Zahlungsstrom (10,10,110 €) berechtigt zu sein, müsste man 10:1,08=9,26 € in einjährige Zerobonds, 10:1,092=8,42 € in Zerobonds mit zweijähriger Laufzeit und 110:1,13=82,64 in dreijährige Zerobonds investieren. Insgesamt müsste man also 9,26+8,42+82,64 € = 100,32 € in das Zerobond-Portefeuille investieren. Die beiden äquivalenten Positionen Kauf einer Kuponanleihe und Kauf eines Nullkuponanleihen-Portefeuilles haben also nicht den gleichen Preis. Es liegt keine Arbitragefreiheit vor!

Wie hoch müsste der Kuponzinssatz sein, damit der Wert der Kuponanleihe auch tatsächlich seinem Ausgabepreis entspricht? Sie müsste natürlich niedriger als 10 % sein. Es sollte gelten:

 

 

Umstellen nach dem gesuchten Kuponzinssatz ergibt:

 

 

Bei einem Kuponzinssatz von i=9,87 % herrscht also Arbitragefreiheit. Der Kuponzinssatz scheint also grob gesprochen so eine Art Durchschnittsbetrachtung der verschiedenen Zerobondzinssätze zu sein. In unserem Beispiel waren sie 8%,9% und 10%. Außerdem sieht man, dass der Kuponzinssatz sehr nah am Zerobondzinssatz z3 liegt. Der Unterschied beträgt gerade mal 0,13 % oder - wie man in der Finance-Community sagt - 13 Basispunkte. Das ist nicht besonders überraschend, schließlich erfolgt ja auch bei der Kuponanleihe die höchste Zahlung (Kupon + Tilgung) am Ende der Laufzeit. Aus der letzten Gleichung unserer Beispielrechnung kann man leicht den Zusammenhang erkennen, der bei Arbitragefreiheit grundsätzlich zwischen dem Kuponzinssatz einer Kuponanleihe mit der Laufzeit T und den Zerobondzinssätzen zt gelten muss. Er lautet allgemein formuliert:

 

 

Das kann man auch übersichtlicher mit Hilfe der Bruttozerobond-Zinssätze schreiben:

 

 

Wie ist der Zusammenhang, falls eine untypische flache Zinsstrukturkurve vorliegt und entsprechend q1 = q2 = ... = qT gilt? Die Summe im Nenner entspricht dann dem Rentenbarwertfaktor:

 

 

Wenn man den RBF wieder in den Gleichung für den arbitragefreie Kuponzinssatz einsetzt, ergibt sich:

 

Bei einer flachen Zinsstrukturkurve entspricht der arbitragefreie Kuponzinssatz also offensichtlich dem Zerobondzinssatz. Es gilt i=z. Bei solch flachen Zinsstrukturkurven - die ungewöhnlich sind, aber auftreten können - lässt sich der Barwert wieder schön einfach mit einem Kalkulationszins bestimmen. Die hier ausgiebig thematisierten Zinsstrukturkurven heißen auf Englisch übrigens "Yield Curves".

MC-Test

 

Literaturverzeichnis

Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 77-86

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