Literatur zum Thema
Erklärung der Varianz fundamentaler Kennzahlen und Renditeprognosen deutscher Aktien

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Active Portfolio Management: A Quantitative Approach for Producing Superior Returns and Selecting Superior Money Managers

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Professionelles Portfoliomanagement

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Aktives Portfoliomanagement

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Es wird immer schwieriger, auf Kapitalmärkten Ineffizienzen zu identifizieren, mit deren Hilfe sich systematische Überrenditen realisieren lassen. Das liegt nicht zuletzt daran, dass eine schier unüberschaubar große Zahl von Kapitalmarktakteuren große Anstrengungen darauf verwenden, bestehende Ineffizienzen zu finden und gewinnbringend auszunutzen. Vor diesem Hintergrund muss die Frage erlaubt sein, ob aktives Portfoliomanagement überhaupt in der Lage sein kann, den Markt systematisch zu schlagen und regelmäßige Überrenditen zu erzielen. Um dieser Frage nach zu gehen, wird gerne auf eine lineare Regression zurückgegriffen. Dabei wird der Zusammenhang zwischen der Rendite des aktiv gemanagten Fonds und der Renditeentwicklung eines Vergleichsportfolios, der so genannten Benchmark, untersucht. Die Formel für die Regressionsgerade lautet:

Wenn wir annehmen, dass die Zielfunktion ganz im Sinne von Harry Markowitz

ist, dann können wir jetzt prima die erste Gleichung einsetzen, um zur Zielfunktion zu gelangen, die es beim aktiven Portfoliomanagement zu optimieren gilt:

Nach fünf, sechs super einfachen Umformungen und unter Zuhilfenahme des Verschiebungssatzes kann man die Zielfunktion folgendermaßen schreiben:

Der erste Ausdruck in den eckigen Klammern gibt den Beitrag der Benchmark zur Zielfunktion des Investors an. Die zweite eckige Klammer stellt die eigentliche Zielfunktion des aktiven Portfoliomanagements dar. Dabei ist F gerade:

FB bezeichnet die außergewöhnliche Renditeerwartung der Benchmark. Dieser Term drückt die vom Portfoliomanager erwartete Abweichung der Benchmarkrendite von der Konsensschätzung μB aus.

Wenn die Annahmen des CAPMs erfüllt wären, dann wäre α und FB gleich Null. Um das aktive Portfoliomanagement zu rechtfertigen, muss man zulassen, dass nicht alle Marktteilnehmer homogene Erwartungen haben und dass der Portfoliomanager über einen kleinen Prognosevorteil verfügt. Die zweite eckige Klammer gibt dann die neue Zielfunktion des Portfoliomanagers an. Auf die erste eckige Klammer kann er schließlich keinen Einfluss nehmen, da sie durch die gewählte Benchmark determiniert ist. Vielmehr muss er durch geschickte Über- und Untergewichtung einzelner in der Benchmark enthaltender Wertpapiere versuchen, das α zu maximieren und durch Steuerung des Portfoliobetas β (Market Timing) einen Zusatzertrag für den Anleger zu generieren.

Die Zielsetzung des aktiven Portfoliomanagements besteht also in der Maximierung der folgenden Zielfunktion:

 

Grinold und Kahn (2000) zeigen auf Seite 135, dass die Maximierung des Value Added durch den Portfoliomanager gleichbedeutend mit der Maximierung einer weiteren Kennzahl, dem so genannten Information Ratio des Portfolios ist. Das Information Ratio ist definiert als Quotient aus der erwarteten unsystematischen Rendite αP dividiert durch den so genannten „Tracking Error“ des Portfolios. Der Tracking Error ist definiert als die Standardabweichung der Differenz zwischen der Portfoliorendite und der Benchmarkrendite. Die Formel für die vom Portfoliomanager zu maximierende Information Ratio lautet:

Das Schöne an dieser Kennzahl ist, dass sie unabhängig von der konkreten Risikoeinstellung des Investors ist. Das ist für die Performance-Messung des Portfoliomanagers ganz wichtig! Andernfalls könnte man nur eine Aussage über die Zielerreichung durch den Portfoliomanager für einen ganz bestimmten Risikoaversionsgrad seiner Kunden treffen.

Damit aktives Portfoliomanagement überhaupt sinnvoll sein kann, muss der Portfoliomanager eine besonders gute Prognosefähigkeit haben. Wenn er die nicht hat, kann man das ganze aktive Management gleich wieder vergessen.

Um die Prognosefähigkeit des Portfoliomanagers zu messen, wird gerne auf den so genannten „Information Coefficient“ (IC) zurückgegriffen. Er gibt die Korrelation zwischen den Renditeprognosen des Portfoliomanagers und den tatsächlichen Renditen an. Ein IC von 1 würde bedeuten, dass der PF-Manager die Renditen stets exakt vorhersagt und ein IC von 0 würde bedeuten, dass überhaupt kein Zusammenhang zwischen den Prognosen und den tatsächlichen Renditen besteht. In der Praxis gilt eine Information Coefficient von 10% schon als ausgesprochen gut. Das verdeutlichen Grinold und Kahn in ihrem Buch „Active Portfolio Management“ sehr anschaulich. Sie schreiben: „ (…) a good forecaster has an IC of 0.05, a great forecaster has an IC of 0.10, and a world class forecaster has an IC=0.15. An IC higher than 0.20 usually signals a faulty backtest or imminent investigations for insider dealing”.

An dieser Stelle sollte sich der geneigte Leser die alles entscheidende Frage stellen: Wie kann man denn nun überhaupt Geld damit verdienen, wenn man realistisch ist und von einem IC von beispielsweise lediglich 6% ausgeht? Die Antwort auf diese Frage liefert das etwas dramatisch als „Fundamentale Gesetz des aktiven Portfoliomanagements“ betitelte folgende Theorem:

N – Anzahl der unabhängigen Prognosen

 

Wir erinnern uns daran, dass die Maximierung der Information Ratio, die glücklicherweise unabhängig von der Risikoaversion des Investors ist, ja gerade das Ziel des aktiven Portfoliomanagements ist. Was steckt nun hinter dem FLAM (fundamental law of active portfolio management)?

Die Idee ist die, dass man bei niedriger Prognosegüte möglichst viele kleine unabhängige Wetten eingehen sollte. Der erwartete Ertrag ändert sich dadurch nicht, aber der Tracking Error nimmt ab, so dass man dadurch die Information Ratio maximiert. Und genau das wollten wir!

Das folgende Zahlenbeispiel stammt von Andreas Sauer aus seinem Aufsatz im Handbuch Portfolio Management. Er verdeutlicht das Konzept der Information Ratio anhand eines Münzwurfbeispiels. Beim Münzwurf fällt entweder Kopf (+1) oder Zahl (-1). Wenn man richtig tippt, verdoppelt sich der Spieleinsatz und wenn man danebenliegt, verliert man das eingesetzte Geld.

Die Aufgabe des Portfoliomanagers besteht darin, in die Kristallkugel zu blicken und den Ausgang des Münzwurfes vorher zu sagen. In der Regel liegt er dabei in 50% der Fälle richtig und in 50 % der Fälle liegt er daneben. Welchem Information Coefficient (IC) entspricht das? Selbstverständlich einem IC von Null, da die Prognose p des Managers nicht mit dem Ausgang des Münzwurfes M, der entweder -1 (Zahl) oder +1 (Kopf) sein kann, korreliert ist. Daher ist der erwartete Ertrag, den man erwarten kann, wenn man auf einen Portfoliomanager mit einem IC=0 setzt, auch gerade Null:

Die Streubreite des Münzwurfergebnisses beträgt 1:

Normalerweise liegt auch der talentierteste Portfoliomanager bei der Prognose p des Resultats r nur in 50% der Fälle richtig. Folglich ist die Kovarianz von p und r Null:

 
 

Wenn der PF-Manager ein Information Coefficient von z. B. 4 % hat, dann bedeutet das, dass der Korrelationskoeffzient zwischen seiner Prognose p und dem tatsächlichen Ausgang des Münzwurfes r gerade 0,04 beträgt. Um ein Beispiel zu konstruieren, indem es tatsächlich sein kann, dass man über einen Informationsvorteil verfügt, muss die Münze gezinkt sein, so dass der PF-Manager r in 52% der Fälle richtig vorhersagen kann! Es ergibt sich dann die folgende Kovarianz:

Damit ergibt sich der Information Coefficient zu:

Wenn man annimmt, dass der PF-Manager den Ausgang des Spiels nur ein klein wenig besser als gar nicht vorhersagen kann, dann stellt sich die Frage, wie er mit dieser sehr geringen – aber doch vorhandenen Prognosefähigkeit im Rahmen der Anlageentscheidung agieren sollte. Hier kommen wir nun wieder auf die weiter oben eingeführte Information Ratio IR zurück. Denn schließlich maximiert der PF-Manager den Nutzen des Anlegers unabhängig von dessen Risikoaversion, wenn er die Information Ratio maximiert. Die Definition des IR ist:

Mal angenommen der PF-Manager hätte 100 Euro, die er für Sie anlegen sollte. Dann kann er das auf ganz unterschiedliche Art und Weisen tun. Er könnte z. B. alles auf einmal setzen. In diesem Falle würde sich ein erwarteter Ertrag α (Überrendite über Null) von 4 ergeben:

Allerdings ist die Volatilität bei nur einer einzigen Wette sehr hoch:

 

Bei dieser Strategie ist die Information Ratio sehr niedrig:

Sie ist in etwa genauso groß wie der IC des PF-Managers. Alternativ könnte der PF-Manager auch lediglich einen Euro setzen. Der erwartete Überertrag α wäre dann 0,04 und die Volatilität ausgedrückt durch die Standardabweichung wäre 0,9992:

 
 
 
 

Wenn der PF-Manager das Spiel 100 Mal mit jeweils einem Einsatz von einem Euro spielt, dann bleibt der erwartete Ertrag im Vergleich zum „Alles-auf-eine-Karte-Setzen“ konstant, jedoch der Tracking Error wird kleiner, so dass insgesamt die Information Ratio steigt. Die Volatilität des Ertrages ist nämlich, wenn man 100 Mal einen Euro setzt, kleiner als wenn man einmal 100 Euro setzt! Es gilt, wenn man n Mal einen Euro setzt, für die Standardabweichung des Ertrags:

 

Wenn der PF-Manager seinen IC von 0,04 ausnutzt, indem er 100 Mal das Ergebnis des Münzwurfspiels prognostiziert und jeweils einen Euro setzt, dann ist der erwartete Ertrag insgesamt gerade 4 Euro, die Standardabweichung ist jedoch:

 
 
 
 

Man kann hier übrigens erkennen, dass die Information Ratio mit der Wurzel der unabhängigen Durchführungen dieses „Investments“ steigt. Die folgende Tabelle verdeutlicht dieses Phänomen: Lieber viele kleine Wetten als wenige große, wenn der IC zwar positiv aber nicht besonders groß ist. Dann klappt’s auch mit der Information Ratio!

 

Literaturverzeichnis

Erklärung der Varianz fundamentaler Kennzahlen und Renditeprognosen deutscher Aktien Dietmar Hillebrand

2007, Nomos,

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Active Portfolio Management: A Quantitative Approach for Producing Superior Returns and Selecting Superior Money Managers Richard C. Grinold/ Ronald N. Kahn

2007, Mcgraw-Hill, Part 1

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Als PDF verfügbar

Strukt. PF-Management: Mit quant. Methoden auf der Suche nach dem Alpha Andreas Sauer

2002, Erschienen im: Handbuch Portfolio Management,

Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 86-90

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