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Mü-Sigma-Prinzip (μ-σ)

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Bernoulli-Prinzip orientiert sich am rationalen Verhalten der Investoren und wirkt nicht zuletzt aus diesem Grunde sehr überzeugend. Allerdings wird die analytische Umsetzung bei hoch komplexen Entscheidungssituationen schwierig. Denn schließlich hängt die optimale rationale Entscheidung zum einen von der unterstellten Nutzenfunktion und zum anderen von der Verteilung der Ergebnisgröße ab.

Vor diesem Hintergrund erscheint es wünschenswert, Entscheidungen allein anhand der Funktionalparameter der Ergebnisgrößenverteilung treffen zu können. Wenn Entscheidungen lediglich auf Basis der ersten beiden Momente, Erwartungswert und Standardabweichung, gefällt werden können, kommen wir zum Mü-Sigma-Prinzip.

Um Verwechslungen vorzubeugen, spricht man im Zusammenhang mit dem Mü-Sigma-Prinzip nicht von einer Nutzenfunktion u(x), sondern von einer Präferenzfunktion φ(μ,σ). Sie gibt für jede Kombination der beiden Momente einen Präferenzwert an. Dabei ist es übrigens überhaupt kein Problem, die Präferenzfunktion so umzurechnen, dass sie statt von σ von σ2 abhängen würde.

Bei einem risikoaversen Entscheider sinkt bei konstantem Erwartungswert der Wert der Präferenzfunktion mit steigender Streuung. Anders ausgedrückt: Die Risikoaversion spiegelt sich in einer negativen partiellen Ableitung der Präferenzfunktion nach der Streuung wider.

Bei Risikoaversion gilt:

Auch die absolute Risikoaversion (ARA) kann für Präferenzfunktionen definiert werden. Sie entspricht dem Austauschverhältnis von Rendite und Risiko auf einem Präferenzniveau. Oder etwas mathematischer ausgedrückt: Die ARA kann durch die Grenzrate der Substitution zwischen μ und σ2 ausgedrückt werden:

 

Wir bestimmen die Grenzrate der Substitution, indem wir die partielle Ableitung der Präferenzfunktion nach der Varianz durch die partielle Ableitung nach dem Erwartungswert teilen und das Ganze noch mit (-1) multiplizieren.

 

Kleiner Exkurs: Was muss man sich eigentlich unter einer „Grenzrate der Substitution“ vorstellen? Im Grundstudium in VWL habt Ihr, als es um Nutzengebirge ging, die Indifferenzkurve kennengelernt. Das ist so eine Art Höhenline. Sie verbindet alle Konsumkonstellationen mit gleichem Nutzen. Wenn wir uns auf einer bestimmten "Nutzen-Höhenlinie" bewegen wollen, darf sich der Nutzen nicht ändern. Ganz ähnlich ist es hier bei der Präferenzfunktion φ(μ,σ2). Wir wollen also, dass sich der absolute Präferenzwert NICHT ändert:

 

 

 

Deshalb setzen wir das totale Differential gleich Null. Einsetzen des totalen Differentials ergibt:

 

 

 

Auflösen ergibt für das Austauschverhältnis von μ und σ2 bei einem konstanten Präferenzwert, das auch als „Grenzrate der Substitution“ bezeichnet wird, zu:

 

Ende des Exkurses!

 

 

Auch Risikoprämie (λ) und Sicherheitsäquivalent (S) können für die Präferenzfunktion bestimmt werden. Das Sicherheitsäquivalent eines unsicheren x (mit μx und σx) entspricht der Ergebnisausprägung, die bei Sicherheit den gleichen Präferenzwert wie die unsichere Zahlung aufweist!

 

Wenn wir auf Basis der Präferenzfunktion für x ein Sicherheitsäquivalent bestimmen können, dann ist die Bestimmung der Risikoprämie λ nur noch eine Lappalie:

 

 

 

 

Die Risikoaversion ist umso höher, je flacher die Präferenzfunktion verläuft. Bei Risikoindifferenz (Risikoneutralität) gilt: S=μx .

 

Lässt sich das μ-σ-Prinzip mit dem Bernoulli-Prinzip vereinbaren? Gute Frage! Antwort: Das muss nicht immer der Fall sein. Deshalb bedient man sich des folgenden Tricks: Wenn man eine exponentielle Nutzenfunktion und eine normalverteilte Zielgröße unterstellt, dann gehen Bernoulli-Prinzip und μ-σ-Prinzip prima Hand in Hand. Der einzige Wermutstropfen bei exponentiellen Nutzenfunktionen besteht darin, dass sie konstante ARA implizieren. Aber gut: Irgendetwas ist ja immer!

 

 

 

 

 

 

Wie dem auch sei: Wenn wir exponentielle Nutzenfunktionen und normalverteilte Ergebnisgrößen annehmen, dann ergibt sich ein Sicherheitsäquivalent, das nur vom Erwartungswert und der Varianz abhängt:

 

Diese Funktion können wir jetzt prima als (μ, σ2)-Präferenzfunktion benutzen:

Φ=μ-α·σ2

 

 

Welche absolute Risikoaversion steckt hier jetzt dahinter? Hm. Schauen wir uns doch mal die Grenzrate der Substitution an:

 

Natürlich ist das so eine Sache, wenn wir unsere Entscheidung lediglich anhand der ersten beiden Momente treffen. Denn nicht umsonst gibt es ja auch noch höhere Momente! Bei symmetrischen Funktionen, wie beispielsweise der Normalverteilung, ist die freiwillige Beschränkung unkritisch. Denn sie wird durch Erwartungswert und Streuung vollständig beschrieben. Was passiert aber bei schiefen Verteilungen? Wenn wir z. B. die folgenden Dichten betrachten, dann müssen wir konstatieren, dass sie zwar den gleichen Erwartungswert und die gleiche Streuung jedoch unterschiedliche Schiefen aufweisen:

 

 

 

(Quellenhinweis: Diese Abbildung lehnt sich an eine Abbildung von Prof. Neuss an, die auf Seite 456 in seinem Lehrbuch „Einführung in die Betriebswirtschaftslehre“ abgebildet ist.)

 

Die Dichte der Alternative 1 ist linkssteil bzw. rechtsschief. Sie führt zu einem beschränkten Verlust mit der Chance auf einen sehr, sehr hohen Gewinn. Bei rechtssteilen Alternative 2 ist der maximale Gewinn beschränkt, während es andererseits zu einem sehr, sehr großen Verlust kommen kann. Die meisten rationalen Investoren würden sich lieber bei Alternative 1 engagieren, obwohl das (μ-σ)-Prinzip uns ja einreden will, dass 1 und 2 gleichwertig sind.

 

Ich halte fest: Bei schiefen Verteilungen ist das (μ-σ)-Prinzip wahrscheinlich nicht der Weisheit letzter Schluss!

 

Der zweite – meiner Meinung nach – sehr gewichtige Einwand gegen Entscheidungen anhand des (μ-σ)-Prinzips ist, dass dies unter Umständen zu einer Verletzung eines Axioms vernünftigen Verhaltens führen kann! Das wollen wir uns im folgenden Beispiel anschauen:

 

 

 

Obwohl Alternative B die Alternative A in allen denkbaren Umweltzuständen dominiert, ist der Präferenzwert von A bei der folgenden – häufig unterstellten Präferenzfunktion – höher als der von B:

 

 

Offensichtlich verletzt das (μ-σ)-Prinzip unter Umständen das Dominanzprinzip! Aber irgendetwas ist ja immer! :)

 

 

 

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 13. Auflage: S.107-113

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Einführung in die Betriebswirtschaftslehre Werner Neus

2007, Mohr Siebeck,

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Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 117-124

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