Annuitäten- und Rentenbarwertfaktor

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Unter Umständen ist es interessant, einen gegebenen Kapitalwert oder Barwert (englisch: Present Value PV) auf eine Projektlaufzeit mit der Dauer T in gleich hohe Zahlungen - sogenannte Annuitäten oder Renten - zu den Zeitpunkten

auf zu teilen. Für die Rente benutze ich g. Es gilt also:

In dem Video wird die Herleitung des ANF und des RBF auf die erste hier beschriebene Art und Weise gezeigt. Um den Barwert PV bzw. die Annuität g möglichst einfach bestimmen zu können, suchen wir nun einen Faktor, den sogenannten Rentenbarwertfaktor, so dass gilt:

 

 

Den RBF setzt man ein, um den Barwert einer Annuitätenzahlungsreihe bei gegebenen Zins und gegebener Laufzeit zu bestimmen. Sein Kehrwert ist der Annuitätenfaktor - kurz: ANF:

 

 
Mit Hilfe des Annuitätenfaktors, der auch häufig Wiedergewinnungsfaktor bzw. Rentenwiedergewinnungsfaktor genannt wird, kann also ein Barwert (analoges gilt natürlich auch für den Kapitalwert) auf gleich hohe Zahlungen während der Laufzeit aufgeteilt werden. Im weiteren will ich beide Faktoren herleiten. Da g eine Konstante sein soll, können wir die Annuität in der Gleichung
 

aus der Summe ziehen:

Dann stellen wir nach g um:

Der Bruch entspricht dem von uns gesuchten Annuitätenfaktor. Wir wollen hier aber lieber erst mal den RBF bestimmen, für den ja bekanntlich

gilt. Mit anderen Worten: Der RBF steht bei der vorletzten Gleichung unten im Nenner. Es gilt also:

Die Summe schreiben wir in der langen Schreibweise und multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit q. Auf die Art und Weise erhalten wir eine zweite Gleichung:

 

(1)

(2)

 

Jetzt kommt der eigentliche Kasus Knacktus: Wir wenden einen Rechen-Taschenspieler-Trick an und subtrahieren von der zweiten die erste Gleichung. Auf der rechten Seite hebt sich da fast alles weg. Schlussendlich bleibt nur die folgende Gleichung übrig:

 

 
 

Tataaaa. Hiermit haben wir die gesuchte Formel für den Rentenbarwertfaktor bestimmt:

 

 

Oder noch einprägsamer:

Diese Formel kann man sich ruhig mal merken! Der Wiedergewinnungsfaktor ist wie bereits erwähnt einfach der Kehrwert des RBFs:

 

Der RBF einer ewigen Rente kann leicht mit Hilfe der Formel für den RBF bestimmt werden:

 

 

Den RBF für die ewige Rente kann man gut interpretieren. Stellen Sie sich vor, dass Sie 100 Euro auf ihrem Sparkonto liegen hätten und Sie dieses Geld nie abheben würden. Die 10% Zinsen, die Sie erhalten, lassen sie sich jedes Jahr ausbezahlen. Was Sie auf diese Art und Weise erreichen, ist ein ewiger Rentenstrom. Jedes Jahr gibt es 10 Euro. Mal angenommen, Ihre Opportunitätskosten betragen gerade i = 10%, dann wäre der Barwert oder Present Value der ewigen Rente gerade:

 

 
Es ist Ihnen also gleich, ob Ihnen jemand auf einen Schlag 100 Euro gibt, oder ob er Ihnen für immer jedes Jahr 10 Euro überweist. (Tatsächlich ist es Ihnen vielleicht doch nicht ganz gleich, falls sie z. B. die Rentenansprüche nicht verkaufen können. Denn Sie werden sie schließlich selbst mit Sicherheit nicht ausschöpfen können. Irgendwann ist halt Schluss.)
 

Mit Hilfe des RBF für die ewige Rente kann eine andere häufig benutzte Notation des RBF hergeleitet werden. Die Idee bei dieser Herleitung besteht darin, dass der Barwert einer unendlichen Annuität in zwei Barwerte aufgespaltet werden kann. Nämlich den Barwert einer endlichen Annuität, die bis T läuft, und dem Barwert der ab t = T + 1 beginnenden ewigen Rente:

 

 

Füllen wir die Formel mit Leben, so erhalten wir:

 

 
 

die Rente g kürzt sich wunderbar raus, so dass gilt:

 

 
 

Und jetzt können wir auch schon wunderbar nach dem RBF umstellen:

 

 
 

Die beiden Brüche werden auf den Hauptnenner gebracht und zusammen gefasst.

 

 
 

Siehe da. Wir sind am Ziel unserer Träume. Die zweite sehr verbreite Formel für den RBF. Sehr häufig wird der RBF auch mit Hilfe der Bruttoverzinsung q ausgedrückt:

 

 
 

Diese Formel kann man sich darüber gut merken, dass der Zinssatz i unten im Nenner steht. Schließlich ist der RBF für die ewige Rente

 

und für geht dann natürlich der Rest des RBF, der nicht der RBF der ewigen Rente ist, also ich meine damit beim RBF

 

 

den linken Bruch, gegen eins:

 

So kann man sich den RBF doch super merken? Oder?

Ich hoffe Ihr habt Euch jetzt beide Notationen für den Rentenbarwertfaktor gemerkt. Es ist fast müßig zu erwähnen, dass die alternative Formel für den Annuitätenfaktor natürlich einfach nur der reziproke Ausdruck des RBF ist:

 

 
 

 

 

Literaturverzeichnis

Grundzüge der Finanzierung und Investition Hans Hirth

2008, Oldenbourg, 43-49

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 67-68

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