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Der zwei Aktien Fall

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Erwartungswert und Streubreite im "zwei Aktien Fall" bei einperiodiger Betrachtung

Wir nehmen an, dass sich in unserem Portfolio lediglich zwei Aktien befinden, von denen keine die jeweils andere dominiert. Damit ist gemeint, dass keine Aktie bei den beiden hier betrachteten Parametern Risiko und Rendite jeweils besser als die andere Aktie ist. Die erwartete Rendite des Portfolios ergibt sich, falls x1 der wertmäßige Anteil der ersten Aktie und (1-x1) der Anteil der zweiten Aktie ist, zu:

 

 

Die erwartete Portfoliorendite kann man auch etwas eleganter schreiben:

$$ \mu_p = \mu_2 + x_1 \cdot (\mu_1 - \mu_2) $$

 

Gerade wenn man später im Rahmen der Tobin-Separation auf der Suche nach der optimalen Portfoliozusammenstellung aus riskantem Tangentialportfolio und sicherer Anlage ist, ist die letzte Formulierung für die Rechnung ganz praktisch. Aber zurück: Wir können die Gleichung nach x umformen und erhalten:

 

 

Um eine Formel für die Standardabweichung des Portfolios zu erhalten, müssen wir einfach die Wurzel der Varianz bestimmen. Es ergibt sich:

 

 
Es gilt im Weiteren, die beiden Grenzfälle des Korrelationskoeffizienten zu betrachten. Also einmal den Fall der perfekten Korrelation mit ρ = 1 und den Fall der perfekten Gegenläufigkeit mit ρ = -1. Beginnen wir mit dem Fall der perfekten Korrelation ρ = 1. Für die Standardabweichung des Portfolios ergibt sich:

 

 


Der Term unter der Wurzel kann mithilfe der ersten binomischen Formel vereinfacht werden zu:

 

 

 


Wir stellen so um, dass alle Terme mit x1 zusammengefasst werden können:

 

 

Man erkennt sofort, dass das Risiko des Portfolios auf null gedrückt werden kann, wenn wir Leerverkäufe zulassen würden, so dass ein negativer Anteil x1 beziehungsweise x2 möglich wäre. Die Standardabweichung des Portfolios wäre Null, falls:

 

 

 

gilt. Es ist möglich, den Anteil x1 mithilfe der erwarteten Renditen der beiden Aktien und der erwarteten Rendite des Portfolios auszudrücken:

Wenn wir den so umgeformten Anteil x1 in die Formel für die Standardabweichung des Portfolios einsetzen, erhalten wir:

 


Die letzte Gleichung können wir etwas anschaulicher schreiben:

 


Man erkennt leicht, dass die Standardabweichung des Portfolios linear von der erwarteten Rendite des Portfolios abhängt. Die Steigung beträgt gerade:

 

 

 

Wir halten fest, dass das Portfoliorisiko dem gewichteten Durchschnitt der einzelnen Risiken entspricht und dass es zudem eine lineare Funktion der erwarteten Portfoliorendite ist. Nachdem wir uns mit dem ersten Extremfall einer perfekten Korrelation der Aktienrenditen auseinander gesetzt haben, wollen wir uns nun im Weiteren dem zweiten Extremfall - einem Korrelationskoeffizient von ρ=-1 - widmen. Es gilt, den Risiko-Rendite-Zusammenhang bei einem Portfolio aus zwei Aktien zu untersuchen, deren Aktienrenditen sich stets gegenläufig entwickeln.


Für ρ=-1 folgt für die Standardabweichung des zwei Aktienportfolios:

 


Die Wurzel können wir mithilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen:

 


Wir erhalten:

 

 


Umstellen ergibt:

 

 

 

Augenscheinlich können wir das Portfoliorisiko hier auf null absenken, indem wir den Anteil x1 folgendermaßen auswählen:
Das ist erstaunlich: Auch ohne die Möglichkeit des Leerverkaufs ist es offensichtlich möglich, eine bestimmte Rendite mit Sicherheit zu erreichen. Das ist wirklich super!
 
Um den Verlauf der Funktion zu bestimmen, setzen wir den durch die erwarteten Renditen ausgedrückten Anteil x1 wieder ein:

 



Ich schreibe nun die letzte Gleichung etwas anders:

 

 

 

im Bereich von

 

 

ist die Steigerung der Geraden negativ. Danach wird sie aufgrund der Betragsbetrachtung positiv. In der folgenden Darstellung entspricht Aktie 1 dem Wertpapier B und Aktie 2 dem Wertpapier A. Folgerichtig entspricht das in der Abbildung dargestellte x1 unserem x2. Bei Gelegenheit werde ich die Abbildung noch überarbeiten.

Für den Fall eines Korrelationskoeffizienten zwischen -1 und +1 verläuft die Kurve zwischen den beiden extremen Fällen. Aber auch dann ist es möglich, dass das Portfoliorisiko kleiner als das kleinste Einzelrisiko einer Aktie ist.
 

Diversifikation bei unkorrelierten Aktienrenditen

Was passiert im Fall vollkommen unkorrelierter Aktienrenditen? Ist es auch für ρ=0 möglich, das Risiko des Portfolios aus den beiden Aktien 1 und 2 unter das Risiko des weniger riskanten Wertpapiers zu senken? Mit der Beantwortung dieser Frage wollen wir uns im Folgenden beschäftigen!

 

Vielleicht ist es dafür zunächst sinnvoll, ganz allgemein den wertmäßigen Anteil x des Wertpapier 1 am varianzminimalen Portfolio zu bestimmen. Zu diesem Zweck stellen wir zunächst die Formel für die Varianz des Portfolios auf. Den wertmäßigen Anteil des zweiten Wertpapiers drücken wir dabei mit x aus: x2=1-x. Die Formel für die Portfoliovarianz ist dann:

Damit die Ableitung nach x etwas leichter von der Hand geht, schreiben wir diesen Ausdruck etwas um und erhalten:

 

Diese allgemeine Formel für die Varianz des 2-Aktien-Portfolios leiten wir nach x ab und setzen die Ableitung gleich Null, da wir ja auf der Suche nach dem Minimum-Varianz-Portfolio sind:

Auf beiden Seiten wird durch 2 geteilt. Durch Zusammenfassen erhalten wir dann:

 

Wenn wir diese Gleichung nun nach x umstellen, erhalten wir eine allgemeingültige Formel für den Anteil x der Aktie 1 am varianzminimalen Portfolio:

Die letzte Formel ist meiner Ansicht nach sehr gut merkbar, denn sie zeichnet sich durch eine schöne Symmetrie aus. Mit Hilfe dieser Formel lässt sich das Gewicht der Aktie 1 im varianzminimalen Portfolio aus 2 Aktien direkt bestimmen. Das Portfolio könnte übrigens statt aus 2 Aktien ebenso gut aus 2 Portfolios bestehen. Aber das nur am Rande.

Mit Hilfe der Formel für x können wir jetzt eine Aussage über das varianzminimale Portfolio im Fall ρ=0 treffen! Und zwar liegt in diesem Fall das x zwischen 0 und 1. Wir können also bei vollkommen unkorrelierten Aktien das Risiko des Portfolios unter die kleinste Standardabweichung der im Portfolio enthaltenen Aktien drücken, ohne auf Leerverkäufe einer der beiden Aktien zurückgreifen zu müssen! Das erkennt man, wenn man in die Formel für das varianzminimale x den Korrelationskoeffizienten von Null einsetzt:

Der 2 Aktien-Fall mit sicherer Anlage

Im Rahmen der Tobin-Separation wird angenommen, dass es ein sicheres Wertpapier gibt. Das würde bedeuten, dass seine Rendite nicht mit den Aktienrenditen der anderen Wertpapiere korreliert ist und dass die Standardabweichung des sicheren Wertpapiers Null beträgt. Wie sieht nun der Risiko-Rendite-Zusammenhang für ein 2-Wertpapier-Portfolio aus, wenn eines der Wertpapiere sicher ist?

Ich treffe die Annahme, dass das Wertpapier 2 sicher und das Wertpapier 1 unsicher ist. Dann ergibt sich die erwartete Rendite eines Portfolios, aus x1 WePa 1 und (1-x1) WePa 2 zu:

Umformen ergibt:

 

Die Streuung des Portfolios ist dann:

 


 

Es handelt sich also um eine lineare Funktion des Anteils x1. Wenn wir den Anteil des unsicheren Wertpapiers mit Hilfe der erwarteten Rendite des Portfolios ausdrücken, erhalten wir:

 


 

Die Standardabweichung des Portfolios ist also auch eine lineare Funktion der erwarteten Rendite des Portfolios, wie man an der nächsten Formel vielleicht noch besser erkennt:

 

 


 

 

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 13. Auflage: S.265-274

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Risikomanagement und Kapitalmarkt Hans-Markus Callsen-Bracker, Hans Hirth

2010, Callsen-Bracker Verlag, S. 48-57

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