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Finanzwirtschaft der Unternehmung

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Finanzierung und Investition

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Zinsimmunisierung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker, Bekir Sendilmen


Die weiter oben kennen gelernten Konzepte Duration und Konvexität sind äußerst hilfreich, wenn es darum geht, einen Zahlungsstrom gegen Zinsänderungsrisiken zu immunisieren. Wenn von Zinsimmunisierung die Rede ist, dann ist damit gemeint, dass sich der Barwert der Zahlungsreihe nach der Immunisierung bei marginalen Zinsänderungen gar nicht und bei nicht-marginalen Zinsänderungen nur geringfügig ändert.

Wenn man sich zum Beispiel eine typische Barwertfunktion anschaut, dann sieht man, dass bei einer Zinssteigerung der PV fällt und dass er bei einer Zinssenkung steigt.

 

 

 

Um den Zahlungsstrom gegen Zinsänderungen zu immunisieren, fügt man ihm einen barwertneutralen Zahlungsstrom hinzu, so dass die Barwertfunktion nach der Immunisierung in etwa folgendermaßen aussieht:

 

 

 

Da die Ableitung der Barwertfunktion nach der Immunisierung beim aktuellen Zins Null ist, verändert sich nach der Immunisierung bei einer marginalen Zinsänderung der Barwert nicht mehr. Das kann man auch anders ausdrücken: Wenn der Zins steigt, verlieren wir weniger als in der Ausgangssituation und, falls der Zins fällt, profitieren wir im Vergleich zur Situation vor der Immunisierung weniger stark - nämlich gar nicht.

Da die Ableitung der Barwertfunktion Null ist, ergibt sich folgerichtig eine Duration von Null. Das erkennt man gut an der folgenden Formel:

 

 

Die Konvexität hingegen muss - wie man an dem Bild unschwer erkennt - positiv sein. Die immunisierte Barwertfunktion ist schließlich positiv gekrümmt! Anders formuliert: Egal wie sich die Rendite ändert, der Wert unseres Portfolios steigt!

Damit wir keine Taylor-Entwicklung benötigen, werden wir im Weiteren statt der Konvexität einfach nur die zweite Ableitung der Barwertfunktion nach dem Zins betrachten. So viele erst einmal zur Theorie der Zinsimmunisierung! Es wird Zeit, sich das Ganze Mithilfe eines Beispiels klar zu machen: Wir beginnen mit einem Zahlungsstrom, dessen Barwert bei steigendem Zins fällt. Das ist zum Beispiel bei einer Normalinvestition der Fall. In drei Jahren (also zum Zeitpunkt t=3) sollen 200 Euro investiert werden, die dann zum Zeitpunkt t=4 einen positiven Cashflow von 490 Euro erbringen werden. Der aktuelle Marktzinssatz für Investitionen mit vergleichbarem Risikoprofil beträgt derzeit 9%.

 

t     1     2       3  4
CF     0     0-200 Euro+490 Euro

Der Barwert der Zahlungsreihe beträgt:

 

 

 

Die erste Ableitung nach dem Zins beträgt an der Stelle q=1,09:

 

 

 

Die PV-Funktion hat also - was bei einer Normalinvestition nicht wirklich überrascht - einen fallenden Verlauf. Die Duration des Zahlungsstromes lässt sich anhand der ersten Ableitung einfach bestimmen:

 

 

 

 

Nur zur Übung können wir die Duration auch noch einmal zu Fuß ausrechnen:

 

 

 

Selbstverständlich kommt auch auf diesem Rechenweg dasselbe Ergebnis raus. Man beachte, dass die Duration länger als die eigentliche Laufzeit des Projektes ist. Die Konvexität ist an dieser Stelle, da auch die zweite Ableitung der Barwertfunktion positiv ist, positiv.

Im Weiteren gilt es, einem Zahlungsstrom (CF1,...,CFT) mit einem Preis von null Euro zu finden, durch dessen Hereinnahme unser Portfolio gegen Zinsänderung Risiken geschützt wird. Da der hereingenommene Zahlungsstrom Barwert neutral sein soll, lautet die erste Bedingung für den Immunisierung Zahlungsstrom:

 

Außerdem wissen wir, dass die Duration des Gesamtportfolios nach der Immunisierung Null betragen sollen. Denn der Barwert des Portfolios soll auch nach der Immunisierung weiterhin PV( ΔCF+CF)=192,69 Euro betragen!

Die einfachste Art und Weise einen solchen Zahlungsstrom zu konstruieren, besteht darin, lediglich eine Zahlung zu t=2 und eine Zahlung zu t=4 zu betrachten. Wir können dann nämlich aus den beiden Bedingungen, dass sowohl der Barwert des hinzu genommenen Zahlungsstromes als auch seine Duration gleich Null sein sollen, ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten - nämlich den beiden Cashflows - aufstellen und lösen.

Beginnen wir mit der Gleichung für die Barwertneutralität:

 

 
 
 
 
Δ CF4 = -1,092·ΔCF2

Dieses Ergebnis ist nicht besonders überraschend. Denn eine Investition, die nur ihre Kapitalkosten erbringt, hat stets einen Barwert beziehungsweise Kapitalwert von Null.

Die zweite Bedingung lautet, dass die Duration des Gesamtzahlungsstromes nach der Immunisierung gleich Null sein soll:

 

 

 

Ausgeschrieben entspricht das:

 

 

 

 

 
ΔCF4=-652,99

 

Die Immunisierung der Zahlungsreihe erfolgt durch Hereinnahme eines Zahlungsstromes, der aus den beiden gerade bestimmten Cashflows besteht. Nach der Immunisierung lautet die Gesamt-Zahlungsreihe:

(0/ 549,62/ -200/ -162,99)

Fast sind wir schon am Ziel unserer Träume. Allerdings haben wir bisher einen ganz wichtigen Punkt vergessen: Die Konvexität der immunisierten Zahlungsreihe! Sie muss positiv sein, da andernfalls eine Fehlimmunisierung vorliegt. Denn bei einer negativen Konvexität, also hier einen negativen zweiten Ableitung, führt eine Zinsänderung gleich mit welchem Vorzeichen stets zu einem Wertverlust unseres Portfolios. Eine solche Fehlimmunisierung haben wir hier erreicht, wie man an der folgenden Tabelle unschwer erkennt:

 

Eigentlich ist unsere Immunisierung gar nicht schlecht gewesen, da die neue Zahlungsreihe auch bei größeren, nicht-marginalen Zinsschwankungen wertmäßig kaum reagiert. Allerdings führt eine Zinsänderung zu einem garantierten Wertverlust! Das erkennt man auch an der zweiten Ableitung des Barwertes. Sie ergibt sich zu:

 

 

 

Offensichtlich müssen wir bei der Konstruktion des Immunisierung- Zahlungsstromes auch die Nebenbedingung beachten, dass die zweite Ableitung des Barwertes positiv ist. Mithilfe dieser dritten Bedingung können wir ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen und den drei Cashflows CF2, CF3 und CF4 aufstellen und lösen. Wenn wir Glück haben, ergibt sich, dass einer der drei Cashflows gleich Null ist! Allerdings wäre das natürlich nur ein Zufall.

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 207-211

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Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 346-351

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