Zinsrechnung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Jahreszinsen, relative und konforme unterjährige Zinssätze

Wenn man an Zinsen denkt, denkt man in der Regel gleich an sein Sparkonto auf der Bank, auf dem man z. B. 2,5 % im Jahr erzielt. Banken verdienen ihr Geld mit dem Zinsunterschied zwischen Soll- und Habenzinsen. Das Geschäft der Banken funktioniert im Wesentlichen so: Der kleine Sparer bunkert seine Ersparnisse auf einem Konto bei der Bank. Auf diesem Wege leiht er de facto der Bank Geld. Die wiederum zahlt für diesen "Kredit" die besagten 2,5 % Zinsen und verleiht ihrerseits das Geld weiter an den armen Bettelstudenten, der knietief im Dispo steckt, zu brutalen 12,5 %. Die 10 % Zinsspanne, die zwischen dem Soll- und dem Habenzins liegt, finanziert den Banken ihre schönen Sparkassen-Filialen.

Die folgenden beiden englischsprachigen Videos geben eine erste Einführung in die Zins- und Zinseszinsrechnung im Allgemeinen.

Obwohl Banken sich sehr gut mit Zinsen auskennen, sind sie manchmal ziemlich unpräzise, wenn es um Zinsangaben geht. So wird ein Zins gerne als Jahreszins angegeben, auch wenn die Verzinsung monatlich oder pro Quartal erfolgt. Die tatsächliche oder "effektive" Verzinsung pro Jahr ist dann höher als der angegebene Jahreszinssatz. Schließlich treten Zinseszinseffekte auf. Nur wenn die Verzinsung tatsächlich jährlich erfolgt, stimmen der angegebene Jahreszins und die effektive Jahresverzinsung überein. Um mit Hilfe des Jahreszinses den relativen unterjährigen Monatszins zu bestimmen, muss der Jahreszins durch zwölf geteilt werden. Bei einer Verzinsung pro Quartal wird der Jahreszins durch vier geteilt. Man erhält also, allgemein gesprochen, den relativen unterjährigen Zins, indem man den nominellen Jahreszins \(i\) durch die Anzahl m der Zinsperioden teilt. Wenn wir also zum Zeitpunkt \(t=0\) den Betrag \(K_0\) auf unser Konto einzahlen, können wir nach n Jahren über ein Guthaben \(K_n\) in der folgenden Höhe verfügen:

$$ K_n = K_0 \cdot \bigg(1 + \frac{i}{m}\bigg)^{m \cdot n} $$

Der effektiv gezahlte Jahreszins \(i^{effektiv}, (n=1)\) ist höher als der von der Bank angegebene Zins \(i\), sobald \(m > 1\) gilt:

 

 

Gibt die Bank als Jahreszins i den effektiv gezahlten Zins an und erfolgt die Verzinsung unterjährig, dann ergibt sich der unterjährige konforme Zinssatz r anhand der folgenden Formel:

 $$ r = \sqrt[m]{(1+i)}-1$$

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Stetige Verzinsung

Wir haben im letzten Abschnitt den Fall betrachtet, dass sich das Jahr in m Zinsperioden untergliedert, weil beispielsweise die Zinszahlung Monats- oder Quartalsweise erfolgt. Nun kann man mit Hilfe der gleichen Formel auch kürzere Subperioden wie beispielsweise Wochen oder Tage betrachten. Das führt dazu, dass die Anzahl m der Zinsperioden pro Jahr größer wird. Wenn wir nun m gegen Unendlich gehen lassen, erhalten wir den konformen Jahreszins p bei einer stetigen Verzinsung. Den Ausgangspunkt unserer Überlegungen bildet die Formel für die effektive Jahresverzinsung:

 

 

Der nominelle Jahreszins i soll konstant gehalten werden. Dann gilt: Je größer die Anzahl m der Subperioden wird, desto größer wird der konforme Jahreszins ieffektiv. Allerdings verlangsamt sich dieses Wachstum relativ schnell, so dass der konforme Jahreszins offensichtlich gegen einen Grenzwert konvergiert. Diesen Grenzwert x gilt es im Weiteren zu bestimmen:

 

Der linke Teil des Ausdruckes ähnelt, wie unserem geübten Mathematiker Auge nicht entgangen ist, stark einem anderen Grenzwert, der zu Ehren des Schweizer Mathematikers Euler als Eulersche Zahl oder kurz als "e" bezeichnet wird:

 

Wir nehmen nun in der Gleichung für unseren gesuchten Grenzwert eine Substitution vor und setzen:

 

Einsetzen ergibt:

 

 

Der Grenzwert für ai gegen Unendlich ist der gleiche wie der für a gegen Unendlich, schließlich ist i einfach eine konstante Zahl! Also können wir schreiben:

 

Umformen nach i ergibt:

 

 

Wenn wir einen Betrag von K0 stetig verzinst anlegen, erhalten wir nach n Jahren einen Betrag Kn in Höhe von:

 

 

Diese Geschichte mit der stetigen Verzinsung ist bei Aktien sinnvoll. Bedeutende Bewertungsmodelle, wie das berühmte Black&Scholes Optionsbewertungs-Modell, arbeiten nicht mit einfachen Verzinsungen bzw. Renditen, sondern mit logarithmischen Renditen. Umstellen der letzten Gleichung nach i für den Fall, dass gerade ein Jahr n=1 betrachtet wird, ergibt:

 

 

Der stetige Zins i ist also eine logarithmische Bruttorendite. Gerade bei Aktienkursen hat es Vorteile die logarithmischen Renditen statt der einfachen Renditen zu betrachten. Das kann man sich gut an einem Beispiel klar machen: Angenommen Sie kaufen eine Aktie zum Preis P=100 Euro. Nach einem Jahr ist der Kurs auf 50 Euro gefallen und nach zwei Jahren steht er wieder bei 100 Euro. Wenn wir das jetzt mit einfachen Renditen ausdrücken, fällt der Kurs erst um -50 % und steigt dann um +100 %. Die durchschnittliche Rendite beträgt also 25 %, obwohl wir am Ende der zwei Jahre nur das rausbekommen, was wir reingesteckt haben. Das ist ein wenig ungeschickt! Hier wird der Vorteil der logarithmischen Rendite offensichtlich! Im ersten Jahr ist sie:

 

 

Und im zweiten Jahr:

 

 

Insgesamt hat unser Aktie eine Rendite von 0% erwirtschaftet. Das kann man sehr schön an den logarithmischen Renditen erkennen, da man logarithmische Renditen im Gegensatz zu einfachen Renditen addieren kann. Die log. Rendite für den gesamten Zeitraum ist gleich der Rendite für das erste Jahr plus die Rendite für das zweite Jahr. In unserem Beispiel ergibt sich eine Gesamtrendite von -0,6931+0,6931 =0 Ein weiterer Vorteil liegt in der Symmetrie. Black & Scholes nehmen im Rahmen ihrer Arbeit an, dass die Aktienrenditen normalverteilt sind. Die Normalverteilung erstreckt sich von -Unendlich bis +Unendlich. Das ist bei logarithmischen Renditen unproblematisch. Bei einfachen Aktienrenditen gibt es hingegen eine Asymmetrie: Die kleinste mögliche Rendite beträgt -100 %, während den positiven Renditen nach oben keine Schranke gesetzt ist! Bei kleinen Zinssätzen ist der Unterschied zwischen der einfachen Rendite und der logarithmischen Rendite klein, wie man am folgenden Beispiel erkennt:

 

 
 
 
 
 
 
 

Verdopplung des eingesetzten Kapitals

 

Im Weiteren stellen wir uns die Frage, wie lange es dauert, bis sich das zum Zinssatz r angelegte Kapital verdoppelt hat. Anders formuliert: Wann gilt:

 



Auflösen nach n ergibt:



Bei einer Verzinsung von 5% dauert es folglich ca. 14,2 Jahre bis zur Verdoppelung des eingesetzten Kapitals. Um eine schnelle Überschlagsrechnung im Kopf machen zu können, kann man auf die "Regel 72" zurückgreifen. Diese Daumenregel lautet:

 



Die Abweichung ist - wie man sieht - mit 0,2 Jahren gar nicht so groß!


 

Es folgen zur Wiederholung drei Multiple Choice Thesen. Entscheiden Sie, ob sie richtig oder falsch sind:

 

 

Literaturverzeichnis

Finanzmathematik (Vahlen Handbücher der Wirtschafts- u. Sozialwissenschaften) Lutz Kruschwitz

2008, Vahlen Verlag, S.12-30

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Übungsbuch zur Betrieblichen Finanzwirtschaft Kruschwitz, Decker, Röhrs

2007, Oldenbourg, Kapitel 1

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