Neuere Entwicklungen zur Optionsbewertung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Mit Hilfe der Formel von Black und Scholes lässt sich anhand der am Markt beobachtbaren Optionspreise die vom Markt erwartete Volatilität der stetigen Aktienrendite bestimmen. Denn die Volatilität ist die einzige Einflussgröße auf den Optionspreis, die nicht durch die Ausgestaltung der Option vorgegeben ist. Man spricht hier von der so genannten "impliziten Volatilität". Da durch die Beobachtung der Optionspreise eine gute Abschätzung der vom Kapitalmarkt erwarteten zukünftigen Volatilität möglich ist, bietet beispielsweise die Deutsche Börse einen eigenständigen Volatilitätsindex an, den VDAX, der auf den Optionspreisen beruht.

In einer Black und Scholes Welt ist die Volatilität ein Charakteristikum des Underlyings. Daher sollte die implizite Volatilität für ein bestimmtes Underlying unabhängig von der Ausgestaltung der jeweiligen Option immer die gleiche sein! Tatsächlich lässt sich jedoch empirisch der so genannte "Smile-Effekt" beobachten: Die implizite Volatilität nimmt mit abnehmendem Basispreis zu! Dieser Effekt wird umso stärker, je kürzer die verbleibende Restlaufzeit ist.

Offensichtlich stellt das Black und Scholes Modell kein vollständiges Abbild der Wirklichkeit dar. Denn in ihrer Welt dürfte die implizite Volatilität nicht "lächeln", sondern müsste gleichmütig dreinschauen. Sprich: Für ein Underlying dürfte die Volatilität nicht vom Basispreis der Option abhängen!

In der Literatur findet man zahlreiche Modelle, die das Modell von Black und Scholes zur Erklärung der Volatilitäts-Smiles dahingehend erweitern, dass sie statt von einer konstanten Volatilität von einer stochastischen Volatilität ausgehen. Sehr vielversprechend ist hier zum Beispiel das Modell von Heston aus dem Jahr 1993, dass er in seinem Artikel mit dem Titel „A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency-Options“ beschreibt.

Die entscheidende Erweiterung von Heston besteht darin, dass sein Modell eine Korrelation zwischen dem Kurs des Underlyings und der Volatilität zulässt! So nimmt beispielsweise nach starken Kurseinbrüchen die Unsicherheit über die zukünftige Kursentwicklung stark zu, so dass hier eine positive Korrelation sehr plausibel erscheint.

Grundsätzlich tritt nun jedoch im Heston-Modell ein Problem auf: Während bei Black und Scholes mit dem unsicheren Underlying nur ein Risikofaktor berücksichtigt werden musste, gilt es im Modell von Heston nun auch noch, die möglichen Schwankungen der Volatilität abzubilden. Dies geschieht mithilfe anderer Optionen, deren Preis ja direkt auf die Volatilität zurückzuführen ist. Diese Idee von Heston, das Problem der Volatilitäts-Smiles in den Griff zu bekommen, ist zwar genial, allerdings mathematisch durchaus eine Herausforderung!

Literaturverzeichnis
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A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options Steven L. Heston

1993, The Review of Financial Studies, Vol. 6, No. 2, S. 327-343,

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