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Ein- und Mehrfaktormodelle

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Die Berechnung der Zusammenstellung des supereffizienten Portfolios ist delegierbar. Schließlich sollte im Gleichgewicht die Zusammensetzung für alle Marktteilnehmer die gleiche sein. Sie ist unabhängig vom Anlagevolumen und der individuellen Risikopräferenz. Letztere hat nur Einfluss auf das Mischungsverhältnis von risikoloser Anlage und dem supereffizienten Portfolio. Allerdings bedarf die genauer Zusammenstellung des SEP eines sehr großen Schätzaufwandes.

 

Das kann man sich anhand eines kurzen Zahlenbeispiels verdeutlichen: Bei 100 Wertpapieren ist es bereits nötig, 5150 Parameter für die Zukunft zu schätzen:
 
100 erwartete Renditen
 
100 Varianzen und
 
0,5· 100 · (100-1) = 4.950 Kovarianzen
 

Also insgesamt:

100 + 100 + 4.950 = 5.150 Schätzgrößen!

Das ist eine sehr umfangreiche Aufgabe, die man besser jemanden überlassen sollte, der über die entsprechende Rechenpower verfügt.

 

Als mögliche Vereinfachung bietet es sich an, die erwartete Rendite der Wertpapiere mithilfe so genannter Single- beziehungsweise Multifaktormodelle zu schätzen. Ein bekanntes Single-Index Modell ist beispielsweise das CAPM. Der eine Faktor, auf den die erwartete Rendite zurückgeführt wird, ist das wohl bekannte Beta. Leider liefert das CAPM in der Empirie keine besonders guten Schätzwerte für die zukünftigen Aktienrenditen. Vor diesem Hintergrund erstaunt es sehr, wie erfolgreich das Modell ist. 70% der größten amerikanischen Aktiengesellschaften bedienen sich des CAPMs, um ihre Eigenkapitalkosten zu schätzen. Denn die erwartete Rendite des Kapitalmarktes ist aus Sicht des Unternehmens gleichbedeutend mit seinen Eigenkapitalkosten. Das CAPM und Erweiterungen des CAPMs, wie zum Beispiel das Tax CAPM, werden auch in Rechnungslegungsstandards zur Unternehmensbewertung empfohlen.

 

Ein Multifaktormodell, das empirisch zwar relativ gute Prognosen liefert, dafür aber theoretisch nicht ganz sauber fundiert ist, ist das Dreifaktorenmodellen von French und Fama.
 
 

Mit Hilfe eines Single-Index Modells kann man auch die Kovarianz-Varianz-Matrix schätzen. Als erstes muss dafür die Annahme getroffen werden, dass man die Rendite eines Wertpapieres i mit Hilfe einer linearen Regression auf die Marktrendite rm erklären kann.

Wenn es möglich ist, die Rendite des Wertpapieres mit Hilfe dieses einen Risikofaktors zu erklären, dann ergibt sich die erwartete Rendite des Wertpapieres zu:

Außerdem kann man jetzt, die Kovarianz zwischen 2 Wertpapieren i und j mit Hilfe der Streuung der Marktrendite und den Betafaktoren der beiden Wertpapiere bestimmen. Um das zu zeigen, bediene ich mich zunächst der Definitionsgleichung für die Kovarianz:



Einsetzen der Formel für die erwarteten Renditen der beiden Wertpapiere ergibt:






In der letzten Gleichung habe ich die Definitionsgleichung der Varianz benutzt. Die Kovarianz zwischen zwei Wertpapieren ist also nicht anderes als das Produkt ihrer Betafaktoren und der Varianz der Marktrendite. Mit Hilfe eines Single-Index-Modells (SIM) lässt sich offensichtlich die Komplexität bei der Berechnung einer Kovarianz-Varianz-Matrix ganz erheblich reduzieren. Dadurch wird auch der Schätzaufwand im Rahmen der klassischen Portfoliooptimierung stark reduziert. Statt wie bisher 5.150 Schätzgrößen benötigen wir beim Fall mit N=100 Wertpapieren jetzt nur noch 302 Schätzgrößen:
 
 
100 erwartete Renditen
100 Betafaktoren
100 Varianzen der Wertpapierrenditen sowie
die erwartete Markt- (bzw. Faktor-) Rendite und
die Varianz der Marktrendite.

 

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 355

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 284-289

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 81-85

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