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Stochastische Dominanz


Der Dominanzbegriff

Es ist vollkommen unstrittig, dass eine Position eine andere dominiert, wenn sie in jedem möglichen Umweltzustand einen höheren Rückfluss mit sich bringt. Schließlich ist mehr Geld besser als weniger Geld. Dieser einfache Zusammenhang spiegelt sich in streng monoton stetig steigenden Nutzenfunktionen wieder. Schwierig wird die Entscheidung zwischen zwei Alternativen erst, wenn in einigen Zuständen die eine und in anderen Zuständen die andere Alternative dominiert. Hier benötigen wir einen neuen Dominanzbegriff!

Die stochastische Dominanz ersten Grades

Die stochastische Dominanz ersten Grades ist wie folgt definiert: Alternative B dominiert Alternative A, wenn die Wahrscheinlichkeit bei A, einen bestimmten Zielwert zu erreichen, bei keinem Zielwert niedriger als bei B ist und bei mindestens einem Zielwert bei B höher als bei A ist. Diese Definition können wir auch formal mithilfe der Verteilungsfunktion von A und B ausdrücken:

 


 

 
Das Konzept der stochastischen Dominanz ersten Grades macht man sich am besten anhand einer Abbildung klar. Wenn die beiden Alternativen A und B die folgende Dichte besitzen:
 
 
 

Dann liegt stochastische Dominanz ersten Grades vor: B ist besser als A! Denn ihre Verteilungsfunktionen sehen folgendermaßen aus:

 


 

 
 

Stochastische Dominanz zweiten Grades

Bei stochastischer Dominanz zweiten Grades dominiert A die Alternative B, falls die Fläche unter ihrer Verteilungsfunktion von -unendlich bis zu jeder Stelle y kleiner als die Fläche unter der Verteilungsfunktion von Alternative B ist:

 


 

 
Man erkennt hier bereits, dass stochastische Dominanz erste Ordnung stets stochastische Dominanz zweiter Ordnung impliziert. Stochastische Dominanz zweiter Ordnung ist offensichtlich das "weichere" Entscheidungskriterium. Denn stochastische Dominanz zweiter Ordnung führt noch lange nicht zur stochastischen Dominanz erster Ordnung. Es verbleibt noch zu erwähnen, dass Entscheidungen die anhand der stochastischen Dominanz erste Ordnung oder an Hand des VaR getroffen werden - und dabei ist das Konfidenzniveau sogar egal - stets zum selben Ergebnis führen. Das klappt bei der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung leider nicht - aber irgendetwas ist ja immer!
Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 124-141

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 51-53

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