Value at Risk

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Lange Zeit spielte der Value-at-Risk (VaR) als Risikomaß in der Praxis des Risikomanagements überhaupt keine Rolle und war lediglich von akademischem Interesse. Dann wurde das Verfahren von JP Morgan und Reuters unter dem Namen Risk Metrics (Trademark) massiv gepusht und trat in der Folge seinen Siegeszug an. Mittlerweile wird der VaR von fast allen größeren Banken verwendet.

Der Value-at-Risk misst - einfach gesagt - den höchsten erwarteten Verlust bei normalen Marktbedingungen bezogen auf einen bestimmten Zeitraum und ein Konfidenzniveau. Für das Konfidenzniveau benutzen Unternehmen beim internationalen Währungsrisikomanagement häufig einen Wert von 95%. Damit ist gemeint, dass ein bestimmter kritischer Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht unterschritten wird! Wenn es darum geht, bestimmte regulatorische Anforderungen zum Beispiel bei der Eigenkapitalausstattung von Banken zu bestimmen, wird hingegen eher eine relativ hohes Konfidenzniveau wie zum Beispiel 99% gewählt. Bei "Risk Metrics" von JP Morgan wird ein Konfidenzniveau von 95% zugrunde gelegt.
 
 
 

Machen wir uns das Value-at-Risk-Konzept am Beispiel eines Vermögens-Managers klar: Der Manager möchte gerne Bayer Aktien kaufen und bekommt von seinem Chef die Vorgabe, dass ein VaR von 30.000 Euro nicht überschritten werden darf. Was bedeutet das für sein Anlageverhalten? Zunächst einmal ist die alleinige Eingabe des VaR noch nicht sehr aussagekräftig. Damit man mit diesem Risikomaß etwas anfangen kann, werden noch das Zeit- und das Konfidenzintervall benötigt, auf das sich der VaR bezieht.

 
Nehmen wir an, dass das Konfidenzniveau 95% beträgt und das Zeitfenster gerade einen Tag lang sein soll. Im letzten Jahr waren die Tagesrenditen von Bayer folgendermaßen verteilt:
 
 
 
 
 
Mithilfe dieser Häufigkeitsverteilung schätzen wir die Dichte ab. Durch Integration kommen wir von der Dichte zur Verteilungsfunktion F(r).
 
 
 
 
 

Bei der Verteilungsfunktion befinden sich auf der Ordinate, damit ist die senkrechte Achse gemeint, die Quantile. Sie geben die Wahrscheinlichkeit an, mit der die jeweilige Rendite unterschritten wird. Da wir ein Konfidenzniveau von 95% betrachten, muss nun die Tagesrendite bestimmt werden, die mit einer Wahrscheinlichkeit α=5% unterschritten wird. Hier im Beispiel ist es gerade - 3%.

 

Dem Vermögens-Manager, den man Neudeutsch wahrscheinlich eher "Asset-Manager" nennen würde, wurde als Zielwert ein maximaler Verlust von 30.000 Euro vorgegeben, den er am Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht überschreiten darf. Das bedeutet, dass er maximal eine Million Euro in Bayer Aktien investieren darf:

 


 

 

Unter Umständen hätte unser Manager mehr als eine Million Euro investieren können, ohne den VaR auf einem Konfidenzniveau von 1-α=95% zu reißen. Schließlich hätte er - statt nur in eine Aktie zu investieren - auch in mehrere Aktien investieren können. Wir hatten ja bereits weiter oben gesehen, dass durch Diversifikation die Streubreite der Rendite reduziert werden kann. Denn Ausreißer einer Aktie werden - wenn es gut läuft - von der normalen Entwicklung der anderen Aktie gedämpft.

 
 
Nehmen wir zum Beispiel den Fall, dass unser Vermögens-Manager in zwei statt wie bisher nur in eine Aktie investieren möchte. Die erwartete Tagesrendite bei beiden Aktien A und B ist Null. Die Streuung der Aktie A - ausgedrückt durch die Standardabweichung - beträgt 0,08 und die der Aktie B 0,12. Der Korrelationskoeffizient zwischen den Aktienrenditen der beiden Aktien wird auf 0,2 geschätzt. In Aktie A hat der Manager 485.000 Euro investiert. Außerdem hat er für 515.000 Euro Aktien der Firma B gekauft.
 

Man nimmt an, dass die einfachen Renditen beider Aktien normalverteilt sind. Um den VaR der beiden Teilinvestments auf einem Konfidenzniveau von (100%-2,28%=97,72%) zu bestimmen, müssen wir als erstes unsere Zufallsvariable standardisieren:

 


 

 
 
Bei der Standardnormalverteilung liegt die Zufallszahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,44% in dem Intervall [-2,+2]. Anders formuliert, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert -2 unterschritten wird, lediglich 2,28%. Diesen Prozentsatz verwenden wir bei der Berechnung des VaR. Es gilt also die Rendite zu bestimmen, die einem z Wert von -2 entspricht. Für Aktie A ergibt sich:
 

Das entspricht einem VaR von:

Für Aktie B ergibt sich ein VaR in Höhe von:

Um den VaR des Portfolios zu bestimmen, müssen wir die Standardabweichung der Rendite des Portfolios bestimmen:
Für das Portfolio ergibt sich ein VaR in Höhe von:

Es ergibt sich das erwartete Ergebnis: Der VaR des Portfolios ist kleiner als die Summe der einzelnen VaRs. Zu dem gleichen Ergebnis hätten wir auch mithilfe eines anderen Rechenweges kommen können. Denn man kann den VaR eines Portfolios auch direkt aus den VaRs der in dem Portfolio enthaltenen Aktien bestimmen. Dazu verwendet man die folgende Formel:

 

Es ergibt sich für den einfachen Fall mit nur zwei Aktien das gleiche Ergebnis, das wir weiter oben zu Fuß ausgerechnet haben. Der Rechen-Vorteil der letzten Formel kommt dann zum Tragen, sobald die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Aktien steigt! Von der Struktur ähnelt die Formel der weiter oben kennengelernten Formel für die Varianz eines Aktienportfolios. Nur wird hier nicht mit der Kovarianzmatrix sonder mit der Korrelationsmatrix gearbeitet, an die links und rechts noch die VaRs "rangeklatscht" werden.

Sobald man logarithmische Renditen verwendet, muss man den VaR folgendermaßen bestimmen:

 

 

 

Will man den VaR bezogen auf einen längeren Zeitraum betrachten, so gilt die folgende Formel:

RoRaC

Der VaR wird gerne zur risikoadjustierten Performancemessung verwendet. Dazu teilt man den Überertrag durch den VaR. Dieser Quotient nennt sich RoRaC, was so viel heißt wie Return on Risk adjusted Capital. Der Überertrag errechnet sich, indem man vom Ertrag die Ertragskomponente subtrahiert, die man bei einer sicheren Anlage des investierten Kapitals erhalten hätte.
Literaturverzeichnis

Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 38-46

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