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Die Effektive Duration und die Key Rate Duration

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Effektive Duration

Das Durations-Konzept beruht auf der Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve. Sie misst die Bruttozinselastizität des Barwertes, ist also ein Maß für das Marktrisiko von Anleihen. An dieser Stelle ist Vorsicht angebracht, denn die Duration berücksichtigt wirklich nur das Marktrisiko und nicht die anderen Risiken, die mit der Anleihe verbunden sein könnten, wie zum Beispiel das Bonitäts-, das Spread- oder das Liquiditätsrisiko. Eine mögliche Erweiterung des Durations Konzeptes, ist die so genannte effektive Duration. Die Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve wird fallen gelassen und stattdessen erfolgt die Diskontierung nicht mit einem einheitlichen Zins, sondern es werden viel mehr die jeweiligen Spot-Rates verwendet. Die Spot-Rate rt entspricht der Nullkupon-Rendite für die Periode T. Aus der "normalen" Duration:

 

 

 

wird somit die effektive Duration:

 

 

 

 

Die effektive Duration bezieht sich auf den Fall, dass sich alle Zinssätze der nicht-flachen Zinsstrukturkurve um den gleichen marginalen Betrag ändern. Diesen Fall bezeichnet man auf Englisch als "parallel shift". Allerdings muss es in der Praxis nicht zwangsläufig zu einer parallelen Verschiebung der gesamten Zinsstrukturkurve kommen. Denn auch einzelne Nullkupon Zinssätze könnten sich - unabhängig von den übrigen Spot-Rates - ändern. Um die prozentuale Kursänderung bei einem sehr kleinen parallel shift zu bestimmen, verwendet man eine Kennzahl, die mit der modified Duration vergleichbar ist. Die so genannte modifizierte effektive Duration wird folgendermaßen berechnet:
 
 
Der nächste logische Schritt, um das Durations-Konzept zu erweitern, besteht darin, eine Duration zu bestimmen, die nicht nur eine parallele Verschiebung der Zinsstrukturkurve erlaubt, sondern auch eine Risikobetrachtung ermöglicht, wenn sich die Form der Zinsstrukturkurve verändert. Also wenn die "yield curve" sich verdreht. Man spricht in diesem Fall von einem so genannten "Twist". Um zu untersuchen, was bei einem Twist geschieht, benötigen wir die so genannte Key Rate Duration. Das Vorgehen ist dabei das folgende: Als erstes wird für jede Nullkupon Anleihenlaufzeit die Kursänderung der Anleihe bei Änderung dieser einen Key Rate berechnet. Die Key Rate Duration KRDt bezogen auf den Zeitpunkt t beschreibt - vergleichbar mit der modifizierten Duration - die prozentuale Kursänderung der Anleihe bei Änderung einer einzelnen Spot-Rate rt:
 
 
 
 

 

 

Um die KRDt zu approximieren, bestimmt man den Kurs der Anleihen vor und nach der Änderung der jeweiligen Spot-Rate. Wenn der betreffende Zerobondzinssatz steigt, ist die Kursänderung der Anleihen negativ. Deshalb gilt folgender Zusammenhang:

 

 

 

 

Die Gleichung wird umgeformt:

 

 

 

Die gesamte Kursänderung ergibt sich als Produkt des Anleihenkurses mit der Summe der mit der jeweiligen KRDt gewichteten marginalen Zinsänderungen:

 

 

 

Um uns das KRD-Konzept zu verdeutlichen, betrachten wir die folgende Beispielanleihe:

Laufzeit: T=3 Jahre

Nennbetrag: N=100 Euro

Kuponzinszahlung: 5 Euro

In der folgenden Tabelle sind die aktuelle und die erwartete neue Zinsstrukturkurve sowie die Änderung der jeweiligen Spot-Rate dargestellt:

Der alte Kurs unserer Anleihe betrug:

 

 

 

Nun rechnen wir die Key Rate Duration KRDt für jede Änderung einer Spot-Rate - also für jeden "Shift" - gesondert aus:

An dieser Stelle ein kleiner Tipp von mir: Versucht diese Tabelle selbst auszufüllen! Selbstverständlich können wir den neuen Kurs der Anleihe, nachdem sich die Zinsstrukturkurve verdreht hat, also mit den drei neuen Zerobond Zinssätzen, bestimmen:

 

 

 

Die relative Kursänderung beträgt also:

 

 

 

 

Jetzt kommen wir zum Kasus Knacktus. Denn diese relative Kursänderung können wir auch mithilfe der KRDt abschätzen:

 

 

 

 

 

 

 

Voila! So viel erst einmal zur Key Rate Duration!

Anmerkung zur Duration

Die modifizierte Duration gibt die relative Barwertänderung bei einer marginalen Zinssatzänderung an:

 

 

 

 

Sie ist also nichts anderes als die negative Änderung der Anleihe bei einer marginalen Zinserhöhung geteilt durch den Kurs. Und damit erhalten wir die modifizierte Duration:

 

 

 

 

Man beachte, dass die modifizierte Duration zwar den prozentualen Kurseinbruch angibt, aber dennoch als positive Zahl angegeben wird. Wenn man den relativen Kurseinbruch bei einer kleinen Renditesteigerung abschätzen will, kann man auf die folgende Formel zurückgreifen:

 

 

 

 

Die Änderung der Rendite wird in Prozent angegeben, so dass auch die Kursänderung eine Prozentangabe ist. Praktiker arbeiten hier gerne mit Basispunkten, also Hundertstel Prozentpunkten. Deshalb findet man häufig eine modifizierte Version der modifizierten Duration. Denn bei einer Renditesteigerung von einem Basispunkte fällt der Anleihenkurs in etwa um MD/100 Basispunkte. Diesen Bruch bezeichnet man als Basis Point Value beziehungsweise als Present Value of One Basis Point (PV01). Wenn man will, kann man sich die modifizierte Duration auch grafisch veranschaulichen. Sie ist nämlich die negative Ableitung der Funktion ln[PV(r)].

 

 

 

Bei der Ableitung der ln-Funktion nach r muss die Kettenregel berücksichtigt werden. Wir erhalten:

 

 

In der folgenden Grafik erkennen wir, dass die modifizierte Duration nichts anderes als die negative Steigerung der logarithmierten Barwertfunktion ist:

 

Leider sind normale Barwertfunktionen in der Regel konvex, so dass man für den Fall relativ großer Zinsänderungen bei der Abschätzung der Kursänderung unter Umständen ziemlich danebenliegt. Für kleine Zinsänderungen ist die Abschätzung mithilfe der modifizierten Duration super, aber bei größeren Änderungen brauchen wir etwas Besseres! Um das Problem auch noch einmal grafisch zu veranschaulichen, ist in der folgenden Abbildung eine typische konvexe Barwertfunktion abgebildet:

 

Die Barwertfunktion ist konvex, das bedeutet, dass die zweite Ableitung positiv ist. Man erkennt dies in der Grafik sehr gut an der Krümmung der Kurve. Die Funktion fällt, aber sie fällt mit steigendem Zins immer weniger stark. Um die Kursänderung ΔPV bei einer nicht-marginal Zinsänderung Δr zu approximieren, bedienen wir uns der beiden ersten Gliedern der Taylor-Reihe:

 

 

 

 

Da wir uns ja bekanntlich für die prozentuale Kursveränderung interessieren, teilen wir die letzte Gleichung auf beiden Seiten durch den Kurs PV der Anleihe vor der sprungartigen Zinssatzänderung:

 

 

 

 

Im ersten Summanden erkennen mir sofort die modifizierte Duration wieder. Im zweiten Summanden steckt eine weitere Anleihen-Kennzahl, die für uns neu ist: Die so genannte Konvexität. Sie wird auf unterschiedliche Art und Weise definiert. Entweder definiert man sie einfach als zweite Ableitung des Kurses. In diesem Fall würde sie sich im Zähler des zweiten Summanden wiederfinden. Oder aber - und diese Notation findet man in der Literatur häufiger - man definiert die Konvexität als:

 

 

 

 

Im zweiten Fall würde die Konvexität dem ganzen Bruch im zweiten Summanden der Taylor-Entwicklung entsprechen. Sie ließe sich folgendermaßen errechnen:

 

 

Alternativ kann die Konvexität auch so geschrieben werden:

 

 

 

Mithilfe der modifizierten Duration und der Konvexität ist es möglich, die Kursänderung einer Anleihe bei einem mittelgroßen Zinssprung zu approximieren.

 

 

 

 

Der erste Term ist für r>0 negativ. Da der zweite Term bei konvexer Barwertfunktion positiv ist, wird klar, dass man den relativen Kurseinbruch überschätzt, wenn man bei relativ großen Zinsänderungen nur die modifizierte Duration zur Abschätzung des Kurseinbruches verwendet. Das hat man ja bereits weiter oben in der Abbildung gesehen.

Exkurs: Die Duration einer ewigen Rente

Bei bestimmten Anleihen wie zum Beispiel so genannte Consol-Bonds wird der Nominalbetrag nie zurückgezahlt. Sie haben eine unendliche Laufzeit und aus diesem Grund kann man ihren Kurs als Barwert einer ewigen Rente auffassen, wenn man das Ausfallrisiko ignoriert. Der Kurs ist dann:
 
 
g - ewige Rente
 
Damit ergibt sich für die Duration:
 
 
Man erkennt an der Formel, dass die Duration nur von der Rendite der ewigen Rente abhängt! Alle ewigen Renten mit gleicher Rendite haben die gleiche Duration!
Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 340-345

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 200-207

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Principles of Corporate Finance R. A. Brealey/ S. C. Myers/ F. Allen

2007, McGraw Hill, 674-678

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