Die Greeks

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Delta der Kaufoption

Nachdem wir die Black-und-Scholes-Formel kennen gelernt haben, stellt sich nun natürlich die Frage, wie die einzelnen Bestimmungsfaktoren den Optionspreis beeinflussen! Hier kommen die so genannten Griechen ins Spiel. Dabei handelt es sich um partielle Ableitung der Black-und-Scholes-Formel für den Optionspreis. Sie zeigen, wie sich der Optionswert ändert, wenn nur ein einziger Einflussfaktoren - wie zum Beispiel der Aktienkurs - marginal schwankt, während alle anderen Bestimmungsfaktoren als konstant angenommen werden! Es handelt sich also um eine ceteris paribus Betrachtung. Die partielle Ableitung der Optionsprämie nach dem Aktienkurs nennt man Delta Δ. Beim Binomialmodell mit nur einer Periode war Delta gerade die Aktienanzahl, die man im Äquivalenzportfolio zusammen mit der Kreditaufnahme halten musste, um die Option perfekt zu replizieren. Beim Binomialmodell müsste man in jedem Knoten eine andere Anzahl an Aktien halten, um die Option stets perfekt nachzubilden. Diese Replikation gelingt in der Realität nicht kostenneutral. Denn jeder Aktienkauf beziehungsweise Verkauf ist mit Transaktionskosten verbunden. Wenn wir einen Blick auf die Formel für den Preis eines Calls werfen:

 
 
 

vermutet man schnell, dass für Delta gelten könnte:

 
 
 
 
 
 

Da Delta die Anzahl der Aktien im Äquivalenzportfolio widerspiegelt, nennt man Delta auch Hedgeratio. Man kann Delta bei der Kaufoption ungefähr so skizzieren:

 

Die Black und Scholes-Formel lautet:

 
 
 

Das leiten wir nach dem aktuellen Kurs der Aktie ab. Bei Teil A müssen wir sowohl die Produktregel als auch die Kettenregel verwenden, da auch d1 von dem Aktienkurs S0 abhängt. Bei Teil B benötigen wir für die partielle Ableitung lediglich die Kettenregel.

 
 

Wir erinnern uns daran, dass d1 durch den folgenden Ausdruck beschrieben wird:

 
 

Das spalten wir auf in:

 
 

Bei der partiellen Ableitung nach dem Aktienkurs fällt der zweite Bruch weg und wir erhalten unter Zuhilfenahme der Kettenregel:

 

Da d2=d1-σWurzel(T) gilt, ist uns sofort klar, dass

 
 

gilt. Jetzt benötigen wir nur noch die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

Es gilt mit d2=d1-σWurzel(T):

 
 

Den Exponenten können wir umschreiben zu:

 
 
 

Der erste Summand entspricht dem Exponenten in der Formel für N'(d1), so dass wir schreiben können:

 
 

Das ist immer noch ein wenig unhandlich, so dass wir den verbleibenden Exponenten noch einmal umformen zu:

 
 
 

Die letzten beiden Terme fallen weg und wir erhalten:

 
 

Jetzt gilt es, in die Formel für c'(S) einzusetzen. Wir erhalten:

 
 

Alles Mögliche hebt sich weg und wir erhalten:

 
 
Das wollten wir beweisen. Delta entspricht der Ableitung des Optionspreises nach dem Aktienkurs und ist gleich N(d1). An dem Vorzeichen von Delta erkennt man, ob der Optionspreis mit steigendem Aktienkurs steigt oder fällt, und am Wert erkennt man das Ausmaß der Reaktion.
 

Zusammenhang zwischen dem Delta der Verkaufsoption und dem des Calls

 

Kaufoptionen weisen ein Delta zwischen null und eins auf. Verkaufsoptionen haben ein Delta im Intervall [-1, 0]. Es gilt bei ausstattungsgleichen Kauf- und Verkaufsoptionen:

 
Δpc-1
 
 

Interessant ist natürlich auch noch die Höhe von Delta in Abhängigkeit des Verhältnisses von Strike und Aktienkurs. Denn Verkaufsoptionen verhalten sich entgegengesetzt zu Kaufoptionen: Je weiter die Verkaufsoptionim Geld liegt, desto niedriger ist bei ihr das ohnehin schon negative Delta. Bei Kaufoptionen gilt: Je weiter die Option im Geld notiert, desto höher ist das positive Delta. Darüber gibt die folgende Tabelle für Call und Put Auskunft.

 
 

 

Weitere Griechen

Neben Delta Δ gibt es noch Gamma Γ, Rho ρ, Theta θ und Vega. Vega ist dabei die einzige Sensitivitätskennzahl, die KEIN griechischer Buchstabe ist. Deshalb werden wir einen anderen griechischen Buchstaben für Vega verwenden und zwar das ν. Beginnen wir mit Gamma. Gamma ist die zweite partielle Ableitung des Optionswertes nach dem Aktienkurs. Anders formuliert, gibt Gamma die Änderung des Hedgeratios bei einer marginalen Kursänderung an. Man nennt Gamma daher auch das Hedge-Risiko.

 

Omega gibt die Kurs-Elastizität des Optionswertes an:

 

Omega ist also nichts anderes als:

 

beziehungsweise:

 
 

So wird es vielleicht deutlicher: Ich brauche für das Äquivalenzportfolio, um eine Kaufoption mit dem Wert c nachzubilden, gerade Delta Δ Aktien mit einem aktuellen Wert von S0. Was ich hier in Aktien investiere, um die Kaufoption zu replizieren, entspricht gerade dem Omega-fachen des aktuellen Preises der Kaufoption! Ein weiterer wichtiger Grieche, den ich euch nicht verschweigen möchte, ist Rho. Er gibt die Wertänderung einer Option bei einer Zinssatzerhöhung an. An dieser Stelle ist Vorsicht angebracht: Eine Erhöhung des Zinssatzes erhöht c. p. den Wert einer Kaufoption, jedoch senkt sie den Wert einer Verkaufsoption. Das sieht man auch an der Formel:

 
 
 

Bei der Kaufoptionen und bei der Verkaufsoption:

 
 

Es ist logisch, dass das so sein muss: Bei der Kaufoptionen kann man bei einem höheren Zins höhere Zinserträge während der Laufzeit mit dem noch nicht gezahlten Ausübungspreis erzielen und bei der Verkaufsoption verzichtet man auf höhere Zinserträge auf den noch nicht erhaltenen Betrag S-E. Theta Θ gibt den Wertverlust bei einer marginalen Fristverkürzung an:

 
 

Man beachte das Minus! Grundsätzlich ist der Wert einer Kaufoptionen c. p. bei längerer Laufzeit höher. Andersherum fällt der Wert der Kaufoptionen bei einer Fristverkürzung und die ist für uns selbstverständlich interessant, da die Zeit nun mal nicht rückwärts läuft!

 
Je kleiner die Restlaufzeit ist, umso größer ist der marginale Wertverlust der Kaufoption im Zeitverlauf. Anders formuliert:
 
 
 

 

 

 

Theta ist konkav in der Restlaufzeit! Wir hatten bereits gelernt, dass die Streuung der einzige zu schätzende Parameter bei der Bestimmung des Optionspreises ist. Aus diesem Grund ist es ganz besonders interessant, sich anzuschauen, wie teuer es wird, wenn man sich verschätzt. Der Grieche Vega ν gibt die Werterhöhung der Kaufoptionen bei einer marginal höheren Streuung an. Tendenziell gilt: Je höher die Streuung der Aktienrendite, desto größer das Gewinnpotenzial des Halters und desto teurer die Kaufoptionen:

 

 

 

 

Vega ist besonders hoch, wenn der aktuelle Aktienkurs eben unterhalb des Ausübungspreises ist.

Die folgende Tabelle fasst die Einflussfaktoren auf den Wert der Kaufoptionen und die dazugehörigen Sensitivitätszahlen zusammen:

Neben den bisher betrachteten Einflussgrößen, gibt es noch andere Ausgestaltungsmöglichkeiten, die einen Einfluss auf den Wert einer Option haben können. So kommt es vor, dass man mehr als eine Kaufoption benötigt, um Aktien zu beziehen. Das Bezugsverhältnis, auf Englisch: ratio, gibt in diesem Falle an, wie viele Aktien man für eine Option erhält. Angenommenen eine Kaufoption hätte bei einem Bezugsverhältnis von eins einen Wert von 140 Euro, dann hätte sie bei einem Bezugsverhältnis von 0,1 einen Wert von 14 Euro und bei einem Ratio von 0,01 einen Wert von 1,40 Euro. Ein Bezugsverhältnis kleiner eins wird eingesetzt, um - in der Hoffnung dadurch den Absatz zu fördern - den einzelnen Optionsschein günstiger zu machen. Denn es gilt: Je höher das Bezugsverhältnis, desto höher ist c. p. der Optionspreis.

Einige Banken geben kein Ratio, sondern ein Optionsverhältnis an. Dahinter steckt nichts anderes als der Kehrwert des Bezugsverhältnisses. Das Optionsverhältnis gibt an, wie viele Optionsscheine benötigt werden, um eine Aktie zu beziehen - beziehungsweise zu verkaufen. Also statt eines Bezugsverhältnisses von 0,01 könnte man auch ein Optionsverhältnis von 100 angeben.

Aktienkurse fallen in der Regel unmittelbar nach einer Dividendenzahlung um den Dividendenbetrag. Dieser Effekt führt bei Kaufoptionen zu einem Wertverlust und bei Verkaufsoptionen zu einer Wertsteigerung. Häufig ist jedoch die Höhe der Dividendenzahlung bereits vor dem eigentlichen Termin der Hauptversammlung bekannt und spiegelt sich deshalb bereits in dem Kurs der Option wider. Man spricht davon, dass der Dividendenabschlag bereits eingepreist ist. Es ist also Vorsicht geboten, wenn beispielsweise europäische Kaufoptionen als viel zu günstig erscheinen! Denn dieses vermeintliche "Schnäppchen" könnte auf einen anstehenden Dividendenabschlag zurückzuführen sein. Einige Optionen - insbesondere an Terminbörsen und OTC-Optionen, seltener bei Warrants - sind mit einem Dividendenschutz ausgestattet. Bei diesen geschützten Optionen wird der Strike direkt nach der Ausschüttung um den Dividendenbetrag gesenkt beziehungsweise bei Verkaufsoptionen erhöht.

Literaturverzeichnis

Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 201-221

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