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Die Black-und-Scholes-Formel

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Jetzt wenden wir uns der Black-und-Scholes-Formel zu! Wie unterscheidet sie sich von dem bereits weiter oben eingeführten Binomialmodell? Eigentlich nur durch die Annahme über die Aktienkursverteilung! Und natürlich besteht ein entscheidender Unterschied darin, dass sich bei dem Black-und-Scholes-Modell um ein zeitstetiges Modell handelt! Black und Scholes gehen davon aus, dass der Aktienkurs einem Random Walk folgt und die logarithmischen Aktienrenditen normalverteilt sind. Auch sie betrachten einen europäischen Call auf eine Aktie, auf die keine Dividende gezahlt wird. Die Black-und-Scholes-Formel lautet:

 

 
 
 
 

N(d1) ist die Verteilungsfunktionen der Standardnormalverteilung von d1. Außerdem gilt für d1:

 

und für d2 gilt:

 
 
 

Das können wir auch kompliziert schreiben:

 
 

Der einzige Unterschied besteht in dem minus oben im Zähler! Man kommt auf diesem Callpreis, wenn man die zu Grunde liegende Aktienkursentwicklung mit dem Black-und-Scholes-Modell für den Aktienkurs Prozess modelliert. Dieses Modell wurde bereits weiter oben dargestellt. Black und Scholes gehen von einem zufälligen Aktienkursprozess mit normalverteilten Aktienrenditen aus. Die Parameter der Normalverteilung der Aktienrendite sind zum einen der Drift µ (der Erwartungswert) und die Streuung σ der Rendite (die so genannte Volatilität). Wenn wir uns jetzt mal in die Formel anschauen, stellen wir fest, dass der Drift nicht in der Formel auftaucht. Dieses Fehlen der erwarteten Rendite µ ist vergleichbar mit dem Wegfallen der Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Aufwärts- und für die Abwärtsbewegungen im Binomialmodell. Stattdessen wird im Binomialmodell mit risikolosen Wahrscheinlichkeiten gearbeitet. In Hinblick auf diese Wahrscheinlichkeitsverteilung hatte die Aktie dieselbe Rendite wie eine risikolose Anlage zum Zinssatz i. Der Effekt beim Black-und-Scholes-Modell ist ähnlich: Die erwartete Rendite wird hier ersetzt durch den risikolosen Zinssatz i. Nur er geht in die Formel ein! An Hand der Formel für einen europäischen Call auf eine dividendenlose Aktie können wir mithilfe der Put-Call-Parität relativ schnell auch die Formel für den Preis eines europäischen Puts bestimmen! Die Put-Call-Parität lautet:

 
 

Wir setzen die Formel für einen europäischen Call ein und erhalten:

 
 

Das fassen wir noch ein wenig zusammen:

 
 

Wir erinnern uns an unser Statistik-Grundstudium: Für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gilt:

 
 

Das setzen wir ein und erhalten:

 
 

Das ist die Formel für einen europäischen Put!

 

Anmerkungen zum Black-und-Scholes-Modell

Das Modell ist sehr erfolgreich und wird von vielen Händlern zur Ermittlung des Optionspreises verwendet. Dieser Erfolg beruht wahrscheinlich auch darauf, dass der Optionspreis nur mit Hilfe eines zu schätzenden Parameters, nämlich der Volatilität der Aktienrendite, zu bestimmen ist. Alle anderen Einflussgrößen wie Aktienkurs, Ausübungspreis, Restlaufzeit und so weiter sind schließlich allgemein bekannt.

Für die Ermittlung des Optionspreises ist nicht die vergangene Streuung der Aktienrendite, sondern die zukünftige zu verwenden. Sie muss geschätzt werden. Andersherum kann mit Hilfe der Optionspreise auf die Streuungserwartungen der Marktteilnehmer zurückgeschlossen werden. Die so bestimmte "Vola" nennt man implizite Volatilität. Damit ist die auf Basis des aktuellen Optionspreises ermittelte Volatilitätserwartung des Marktes gemeint.

Ein Hauptproblem der Formel liegt in der Annahme des Aktienkursprozesses. Empirisch ist häufig zu beobachten, dass Aktienrenditen nicht normalverteilt sind, sondern einer anderen etwas spitzeren Dichtefunktion folgen. Diese Verteilung wird leptokurtisch genannt: Extreme Ausreißer - die bei Aktien häufiger auftreten - werden bei dieser Dichtefunktion durch so genannte „fat tails“ abgebildet. Sie ist an den Enden dicker und dafür in der Mitte spitzer, wie man in der folgenden Abbildung sieht:

 

 

Mittlerweile hat die Finanzmathematik große Fortschritte bei der Optionsbewertung gemacht. So gibt es neuere Ansätze, die nicht mehr wie noch Black und Scholes von einer konstanten Volatilität während der gesamten Laufzeit ausgehen. Vielmehr ist dort die Streuung selbst einem Zufallsprozess unterworfen und kann schwanken. Darauf werde ich weiter unten noch näher eingehen.

Ein weiterer wichtiger Punkt sind mögliche Dividendenzahlungen während der Laufzeit. Denn die Formel, wie wir sie hier kennen gelernt haben, gilt nur für Aktien, auf die während der Restlaufzeit der Option keine Dividenden gezahlt werden! Modelle, die Dividendenzahlungen berücksichtigen, tun dies auf unterschiedliche Art und Weise. Denn auch die Dividende ist letztlich dem Zufall unterworfen und auch hier sind wieder Annahmen über den zu Grunde liegenden Zufallsprozess notwendig.

Black und Scholes kann man nicht unbedingt auf andere Basistitel wie Indizes, Zinsen oder Devisen übertragen, da dort unter Umständen andere Verteilungsannahmen sinnvoll sind. Für uns ist Black und Scholes an dieser Stelle jedoch ausreichend, da ihre Formel einen sehr guten Schätzer für die Optionswert liefert. Ihr Ansatz wurde nicht umsonst mit dem Nobelpreis geadelt! Black hat diese Ehrung im Jahre 1997 nicht mehr erlebt, da er bereits im Jahre 1995 verstarb.

 

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 338-343

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Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 332-334

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 197-198

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Principles of Corporate Finance R. A. Brealey/ S. C. Myers/ F. Allen

2007, McGraw Hill, 602-607; 997

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