Das Black und Scholes Modell für den Aktienkurs

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Modell von Black und Scholes für den Aktienkurs

Die beiden Wirtschaftswissenschaftler Black und Scholes sind durch ihre Bewertungsformel für Optionen, mit der wir uns weiter unten noch beschäftigen werden, sehr berühmt geworden. Beginnen wollen wir aber mit einer der eigentlichen Optionsbewertung noch vorgelagerten Stufe: Die Entwicklung des Aktienkurses. Denn für die Bewertung von Optionen muss man stets eine Annahme über den dem Underlying - hier ist es der Aktienkurs - zu Grunde liegenden Zufallsprozess treffen. Deshalb möchte ich hier zunächst das Black und Scholes Modell für den Aktienkursprozess vorstellen. Wenn man den Betrag K0 risikolos zu einem festen Zinssatz anlegt, dann gilt für den Endwert:

 

Für die erwartete Rendite bedeutet das:

 
 

Man beachte, dass im Modell von Black und Scholes logarithmierte Renditen betrachtet werden. Für kleine Kursänderungen entsprechen die logarithmischen Renditen in etwa den einfachen Renditen. Wir betrachten hier also die Rendite einer Aktie. Für sie gilt:

 
 
St - Aktienkurs in t
 

Ein nicht zu unterschätzender Vorteil bei der Verwendung logarithmischer Renditen besteht darin, dass man sie addieren kann:

 
 

Da der Kurs der Aktie zufällig ist, folgt auch die Aktienrendite einem Zufallsprozess. Black und Scholes treffen die Annahme, dass sich die Aktienrendite aus einer deterministischen Komponente und einem zufälligen Anteil zusammensetzt. Die zufällige Renditekomponente modellieren die beiden Nobelpreisträger als einen Wiener-Prozess, der mit der Standardabweichung skaliert wird. Für den Renditeprozess Rt gilt:

 
 

Der Erwartungswert µ gibt die erwartete Rendite für die Zeiteinheit t=1 ein. Für sie wird in der Finanzmathematik gerne 1 Jahr genommen. Aus der Gleichung für die Aktienrendite erkennt man, dass es sich dabei um eine lineare Funktion von Wt handelt. Das bedeutet, dass die Aktienrendite selbst nichts anderes als eine lineare Transformation von Wt ist. Folglich ist auch sie normalverteilt:

 
 

Den Parameter µ nennt man Drift und σ heißt Volatilität. Für den Zeitraum t beträgt die Standardabweichung der Rendite Wurzel(t)·σ . Mit Hilfe der Rendite ergibt sich der Aktienkurs zum Zeitpunkt t zu:

 
 

Da Rt normalverteilt ist, folgt für den Aktienkurs, dass er einer Log-Normalverteilung folgt. Die Dichten von Rt und die daraus resultierenden Dichten St sind in der folgenden Abbildung dargestellt: Bei den Abbildungen wurde von einer erwarteten Aktienrendite von 0% ausgegangen. Da der Aktienkurs einer Log-Normalverteilung folgt, ergibt sich der in t erwartete Aktienkurs zu:

 
Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 332-334

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