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Die Normalverteilung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Eine Normalverteilung mit E(x)=μ und Var(x)=σ2 hat die folgende Dichte:

 

 

Wenn man ausdrücken möchte, dass eine Zufallszahl normalverteilt ist, dann schreibt man:

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass x innerhalb eines bestimmten Intervalls [a,b] liegt, ergibt sich als Fläche unter der Dichte in diesem Intervall. Wenn man zwei normalverteilte Zufallsgrößen addiert, dann ist die sich daraus ergebende neue Zufallsgröße ebenfalls normalverteilt. Außerdem kann man normalverteilte Zufallsvariablen - ähnlich wie den Nutzen (s. o.) - linear transformieren. Denn die transformierte Zufallsgröße ist ebenfalls normalverteilt. Wir transformieren die Zufallsvariable x mithilfe der folgenden Transformation:

 
 

Die beiden Parameter Alpha und Beta sind Konstanten. Für die transformierte Zufallsvariable Y ergibt sich die folgende Normalverteilung:

 
 

Eine ganz besonders wichtige Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Sie hat einen Erwartungswert von 0 und eine Standardabweichung sowie Varianz von 1. Mithilfe einer linearen Transformationen kann man aus jeder beliebigen normalverteilten Zufallsvariablen x eine standardnormalverteilte Größe z machen. Diesen Vorgang nennt man standardisieren. Mit unserem bisher erworbenen Wissen können wir uns nun die für die Standardisierung notwendigen Parameter selbst erschließen! Denn wir kennen ja den Erwartungswert und die Varianz, die sich nach der Transformation ergeben sollen. Es ergeben sich für die Standardisierung die folgenden Werte:

und
 

 

Daraus folgt für die transformierte Größe z:

Falls eine Zufallsgröße normalverteilt ist, dann erhält man durch Standardisieren die Zufallsvariable z. Sie ist standardnormalverteilt. In der Vor- Computer-Ära war die Standardrmalverteilung deshalb so bedeutsamen, weil die Verteilungsfunktion F(z) in jeder gut sortierten Formelsammlung als Tabelle vorlag. Wenn man also für einen bestimmten z Wert die Wahrscheinlichkeit bestimmen wollte, dass dieser Wert unterschritten wird, musste man nur einen Blick in die Tabelle werfen. Heutzutage liefert Excel mit dem Befehl NORMVERT(x;μ;σ;1) den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x für jede beliebige Normalverteilung! Mithilfe des Excel-Befehls werden wir nun die Wahrscheinlichkeiten dafür bestimmen, dass eine normalverteilte Größe innerhalb bestimmter Intervalle, den so genannten K-Intervallen, liegt. Als K-Intervalle werden die folgenden Intervalle bezeichnet:

 

Das Faszinierende an diesen K-Intervallen ist, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der eine normalverteilte Größe innerhalb eines K-Intervalls liegt, unabhängig vom Erwartungswert und der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung ist. Als erstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine normalverteilte Größe x innerhalb des K=1 Intervalls liegt:

 

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 68,3%! Das bedeutet, dass bei jeder normalverteilten Größe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Ausprägung der Zufallsgröße innerhalb eines Intervalls von der Länge der zweifachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt, stets 68,3% ist. Für K=2 beträgt die Wahrscheinlichkeit 95,5% und bei K=3 sind es bereits 99,7%! Das ist ein sehr hoher Wert! Deshalb könnte man sich fast dazu hinreißen lassen zu sagen, dass es so gut wie sicher ist, dass sich eine normalverteilte Größe innerhalb des K=3 Intervalls befindet!

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 123

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 10

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