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Die Put-Call-Parität

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Put-Call-Parität bei amerikanischen und europäischen Optionen

Ich möchte noch einmal daran erinnern, dass wir bei unseren Überlegungen immer noch davon ausgehen, dass das Underlying keine Dividende ausschüttet! Beginnen wir mit der Put-Call-Parität (die ich weiter oben ja bereits ziemlich schlampig erklärt habe) für europäische Optionen. Sie lautet:

 
 
 

Man kann sich die Put-Call-Parität relativ rasch herleiten, indem man 2 Portfolios bildet, die - egal welche Entwicklung das Underlying in T nimmt - stets dieselben Payoffs liefern. Diese beiden Portfolios müssen bei Arbitragefreiheit zum Zeitpunkt t < T den gleichen Preis haben!

Im ersten Portfolio befinden sich ein Call und ein Geldbetrag in Höhe des diskontierten Ausübungspreises. Zum Ende der Laufzeit hat dieses Portfolio, falls ST > E gilt, einen Wert in Höhe von:

 
 
 
 
Andernfalls ist der Call wertlos und der Payoff ist einfach E. In das zweite Portfolio legen wir eine Verkaufsoption, deren Ausübungspreis ebenfalls E sein soll und die die gleiche Laufzeit wie der Call im ersten Portfolio aufweist, und eine Aktie. Sollte der Aktienkurs zum Ausübungstermin oberhalb des Strikes E liegen, dann ist der Wert des Portfolios lediglich gleich dem Aktienkurs ST, da der Put wertlos ist. Mit anderen Worten: Das zweite Portfolio ist genauso viel wie das erste wert. Das gilt natürlich auch im zweiten Fall, dass der Aktienkurs unterhalb des Ausübungspreises liegt. Auch beim zweiten Portfolio aus Put und Aktie ist der Payoff dann:
 
 

Ganz egal, ob der Aktienkurs oberhalb oder unterhalb des für beide Optionen gleichen Ausübungspreises liegt, ergibt sich für beide Portfolios (Call+Geldbetrag) und (Put+Aktie) der gleiche Payoff in T. Es gilt daher, wenn das No-Arbitrage-Prinzip erfüllt ist, in t < T für europäische Optionen:

 
 
 
 
 Umformen ergibt:
  
 
 

Zum Fälligkeitstermin gilt sogar:

Cet-Pet =St-E 

Put-Call-Beziehung bei amerikanischen Optionen

Wie sieht die Put-Call-Parität nun für amerikanische Optionen aus? Tja. Was wissen wir denn schon über den Preis von amerikanischen Optionen? Einmal wissen wir, dass amerikanische und europäische Calls stets denselben Preis haben. Außerdem wissen wir, dass amerikanische Puts MINDESTENS den Wert von europäischen Puts aufweisen. Sie können allerdings auch mehr wert sein. Damit ist klar, dass die Put-Call-Beziehung bei amerikanischen Optionen, nur noch eine Ungleichung ist:

 
 
 
 
 
Denn auf der linken Seite wird von dem im Vergleich zu den europäischen Optionen gleich großen Call-Wert ein möglicherweise höherer Put-Wert subtrahiert. Bei amerikanischen Optionen bleibt folgerichtig von der schönen Put-Call-Parität nur noch eine banale Put-Call-Beziehung übrig, hinter der eine Ungleichung steckt!

 

 
 
 
Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 343

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Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 330-332

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 199-201

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