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Optionspreisschranken

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Schranken für Optionspreise

Mit Hilfe des weiter oben bereits kennen gelernten "No-Arbitrage-Prinzips" lassen sich Aussagen über Unter- und Oberpreisgrenzen von Optionen herleiten. Grundsätzlich unterscheidet man dabei zwischen europäischen und amerikanischen Optionen, die ich im Weiteren durch den Index e bzw. a kennzeichnen werden. Eine interessante Erkenntnis, auf die wir hier stoßen werden, besteht darin, dass es NIE vorteilhaft ist, eine amerikanische Kauf-Option (Call) vorzeitig aus zu üben, wenn während der Laufzeit keine Dividenden gezahlt werden. Um die Überlegungen so einfach wie möglich zu halten, werde ich im Weiteren auf die Berücksichtigung des Preiseinflusses von Dividendenzahlungen während der Laufzeit zunächst verzichten. Darauf kommen wir dann später zu sprechen. Grundsätzlich gilt, dass amerikanische Optionen, die, im Gegensatz zu den europäischen Optionen, auch während der Laufzeit ausgeübt werden können, stets mindestens genau so viel wie europäische Optionen wert sind. Das gilt sowohl für Puts P als auch für Calls C:

Ist ja auch logisch, denn alles was die europäische Option kann, kann die amerikanische Option schon lange! Wenn wir annehmen, dass i>0 der risikolose Zinssatz ist und q=1+i der risikolose Bruttozins pro Zeiteinheit ist, dann gilt während der Laufzeit (t):

Der minimale Wert einer Kaufoption ergibt sich als Maximum von Null und der Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem diskontierten Ausübungspreis. Das bedeutet, dass während der Laufzeit der minimale Wert GRÖßER als der innere Wert der Option ist. Da man bei sofortiger Ausübung eines amerikanischen Calls nur den inneren Wert erhält, lohnt es sich während der Laufzeit nie die Option auszuüben. Anders ausgedrückt: Da bei Kaufoptionen der Zeitwert IMMER positiv ist, lohnt sich die vorzeitige Ausübung nie! Man wird den Optionsschein stattdessen lieber verkaufen, da man dann die volle Optionsprämie - also innerer Wert plus Zeitwert - erhält. Warum ergibt sich nun die Preisunterschranke eines Calls als Maximum von Null und der Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem diskontierten Ausübungspreis? Die Antwort lautet natürlich: Wäre es nicht so, dann wäre das No-Arbitrage-Prinzip verletzt und es ließe sich ein Arbitrageerfolg realisieren! Das wollen wir uns im Folgenden im Detail ansehen. Bei unserem Beweis zäumen wir das Pferd von Hinten auf und gehen zunächst davon aus, dass gilt:

In dieser Situation können wir als Arbitrageure Geld verdienen, wenn wir annehmen, dass die Arbitrage nicht durch Transaktionskosten oder andere Friktionen behindert wird! Und das geschieht folgendermaßen: Als erstes besorgen wir uns Geld, indem wir das Underlying, also den Basiswert, der z. B. eine Aktie sein kann, zum aktuellen Kurs St leerverkaufen. Damit ist gemeint, dass wir uns das Wertpapier leihen, zum aktuellen Kurs verkaufen und zu einem späteren Zeitpunkt - und zwar dem Ausübungszeitpunkt der Option - zurückgeben. Bei dieser Transaktion kommt erst einmal ein Betrag in Höhe des aktuellen Kurses in unsere Kasse rein. Allerdings sind wir uns dessen bewusst, dass wir zum Zeitpunkt T die Aktie zurückgeben müssen. Deshalb kaufen wir zum Preis Cet eine europäische Kaufoption, die uns das Recht verschafft, zum Zeitpunkt T die Option zum Preis E zu beziehen. Summa summarum verbleibt ein Betrag in Höhe von (St- Cet ) in der Kasse. Dieses Geld legen wir sicher zum Zins q für den verbleibenden Zeitraum (T-t) bis zur Ausübung an. Aufgrund der sicheren Geldanlage werden wir zum Ausübungszeitpunkt über einen Geldbetrag in Höhe von q(T-t)·(St- Cet ) verfügen. Was passiert zum Ausübungstermin? Das hängt natürlich - wie so oft bei bedingten Termingeschäften - vom Kurs des Basiswertes ab! Mal angenommen, der Aktienkurs liegt in T über dem Strike das Calls: ST>E. Dann macht es Sinn, den gekauften Call auszuüben. Ich zahle also den Ausübungspreis E, erhalte die Aktie und gebe sie an meinen Wertpapierverleiher zurück. Insgesamt ergibt sich als Saldo zum Zeitpunkt T ein Betrag in Höhe von:

 

Wenn dieser Saldo positiv ist, bedeutet dass, dass wir einen Arbitrageerfolg realisiert haben und das No-Arbitrage-Prinzip verletzt wäre. Für das Vorzeichen spielt der Vorfaktor vor der eckigen Klammer keine Rolle, da wir von einem positiven risikolosen Zins ausgehen. Mit anderen Worten, das No-Arbitrage-Prinzip ist verletzt, falls gilt:

 

Oh. Moment mal. Das können wir ja umformen zu:

 

Voila! Sobald der Preis einer europäischen Option kleiner als die Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem diskontierten Ausübungspreis ist, lässt sich ein sicherer Arbitrageerfolg realisieren! Eine solche Situation hat auf kompetitiven Kapitalmärkten nicht lange Bestand. Damit haben wir eine Preisuntergrenze gefunden. Es muss gelten:

 

Ach ja: Es kann natürlich auch passieren, dass es sich NICHT lohnt, die europäische Kaufoption aus zu üben. In diesem Fall besorgen wir uns die Aktie, indem wir sie auf dem "normalen" Weg an der Börse zum Börsenkurs ST kaufen. Der sich in diesem Falle ergebende Saldo ist:

 

Da der Kaufpreis E größer als ST ist, gilt, dass dieser Saldo sogar noch GRÖSSER als im ersten Fall ist, so dass sich in diesem Fall erst recht ein Arbitrageerfolg realisieren ließe! Ich fasse noch einmal zusammen: Falls das No-Arbitrage-Prinzip Gültigkeit hat - und darauf beruhen hier alle Überlegungen - dann existiert für europäische (und damit automatisch auch für amerikanische Kaufoptionen) eine untere Preisschranke, die während der Laufzeit noch ÜBER ihrem inneren Wert liegen kann:

 

 

 
 

Sobald t gegen T geht, nähert sich selbstverständlich die untere Preisschranke dem inneren Wert der Option an.

 

Preisuntergrenze des europäischen Puts

Ganz analog zur Argumentation beim europäischen Call weiter oben, lässt sich auch eine Preisuntergrenze für den europäischen Put bestimmen. Ich spare mir an dieser Stelle den Beweis, ermuntere Euch aber, ihn eigenständig her zu leiten! Ist eine super Übung! Es gilt:
 
 
 
 
 
Ich hoffe Euch ist an dieser Stelle eine wichtige Besonderheit des europäischen Puts aufgefallen: Während der Laufzeit ist die Preisunterschranke der europäischen Verkaufsoption KLEINER als ihr innerer Wert. Es kann also bei der europäischen Verkaufsoption durchaus vorkommen, dass die Optionsprämie unterhalb des inneren Wertes liegt. Die Preisuntergrenze eines amerikanischen Puts ist hingegen gleich seinem inneren Wert. Andernfalls könnte man durch den Kauf des Puts und sofortiges Ausüben einen sicheren Arbitrageerfolg erzielen!
 
In der Abbildung sind die Preisunterschranken für europäische und amerikanische Puts noch einmal dargestellt. Bei amerikanischen Puts kann die vorzeitige Ausübung lohnend sein. Das macht man sich am besten an einem Extremfall klar. Gehen wir davon aus, dass das Underlying NICHTS mehr wert ist: In diesem Fall verdient man durch sofortige Ausübung den maximalen Betrag E. Durch Nichtausübung geht man das Risiko eines Kursanstieges ein. Mit anderen Worten: Man kann sich nur verschlechtern und außerdem verzichtet man auf Zinserträge, die man durch die Anlage von E andernfalls hätte verdienen können! Ein europäischer Put hätte übrigens in der gleichen (Extrem-)Situation (St=0) einen Wert unterhalb des inneren Wertes. Das heißt im Klartext: Der Zeitwert ist NEGATIV! Man kann sich überlegen, dass die vorzeitige Ausübung des amerikanischen Puts nicht nur bei dem beschriebenen Extremfall, sondern auch bei etwas höherem Aktienkurs lohnend sein kann. Es gibt dafür offensichtlich einen kritischen Kurs des Underlyings, bei dem die Verkaufsoption tief im Geld ist, ab dem die vorzeitige Ausübung lohnend ist.
Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 296-300

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 195-202

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