Die Duration

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Konzept der Duration wurde vor über 60 Jahren im Jahr 1938 von Frederic Macaulay entwickelt, um Zinsänderungsrisiken bei Anleihen und bei Portefeuilles aus Anleihen zu untersuchen. Da mittlerweile noch andere, zum Teil weitergehende Durationskonzepte existieren, wird die klassische Duration, mit der wir uns hier beschäftigen wollen, nach ihrem Entwickler auch gerne "Macaulay-Duration" genannt. Die Idee dahinter ist die Folgende:

Bei einer Änderung des Zinsniveaus sind zwei Effekte für die Halter von Anleihen bedeutsam: Zum einen ändert sich der Kurs der Anleihe (Marktwerteffekt) und zum andern verändert sich die vom Halter zu erzielende Verzinsung auf die zwischenzeitlich ausgeschütteten Zinszahlungen (Wiederanlageeffekt). Ein höheres Marktzinsniveau würde beispielsweise dafür sorgen, dass der Kurs der Anleihen fällt, der Marktwerteffekt wäre in diesem Fall negativ, während gleichzeitig die Kuponzinszahlungen zu einer höheren Verzinsung wieder angelegt werden könnten. Eine Zinserhöhung führt also zu einem positiven Wiederanlageeffekt. Es wird klar, dass die Auswirkungen einer Zinsänderung auf den Barwert (also auf den Kurs) und auf den Vermögensendwert des Anlegers gegenläufig sind. Der Kerngedanke des Durations-Konzeptes besteht nun darin, dass es während der Laufzeit einen Zeitpunkt geben muss, an dem sich diese beiden gegenläufigen Effekte gerade aufheben. Die folgende Graphik verdeutlicht dieses Phänomen:

 

Über dem Zeitstrahl sind die jeweiligen Gegenwartswerte eines Zahlungsstromes für zwei unterschiedliche Zinssätze i1 < i2 aufgetragen. Den Zeitpunkt, in dem der Gegenwartswert des Zahlungsstromes gerade unabhängig vom Zinssatz ist, nennt man Duration. Zu diesem Zeitpunkt heben sich Marktwerteffekt und Wiederanlageeffekt gerade auf. Es gilt also:

PVD - Gegenwartswert zum Zeitpunkt t=D

q - Bruttorendite: q = 1 + r

Der Gegenwartswert im Zeitpunkt D ist gerade:

Um diesen Gegenwartswert abzuleiten, verwende ich die Produktregel. Sie lautet:



Die Ableitung des Gegenwartswertes im Zeitpunkt D ergibt sich damit zu:

Ausklammern der Bruttoverzinsung ergibt:

Da gilt, kann auf beiden Seiten durch diesen Term geteilt werden, so dass er verschwindet:

Wir lösen die Gleichung nach der gesuchten Duration auf und erhalten:

Um die Interpretation zu erleichtern, schreiben wir diesen Bruch als Doppelbruch:

Die Duration ist also auch so etwas wie eine Elastizität. Nämlich die so genannte Bruttozinselastizität des Barwertes.

Grundsätzlich ist die Duration ein Risikomaß. Um eine Anlagestrategie zu entwickeln, die ein minimales marginales Zinsänderungsrisiko aufweist, lautet die einfache Investitionsregel: Wähle die Duration so, dass sie dem Anlagehorizont entspricht. Das führt nämlich dazu, dass die Anlage keinem marginalen Zinsänderungsrisiko ausgesetzt ist!

Oft werden in Finanznachrichten Durationen von Produkten angegeben, die eigentlich keine haben, wie z. B. Zinsoptionen. Bei einer Option bedeutet eine Duration von 80 dann, falls beispielsweise eine Kuponanleihe eine Duration von 8 hat, dass das Risiko der Option 10 Mal höher als das der Kuponanleihe ist.

Die Duration beruht auf einer Reihe von Annahmen: So wird unter anderem angenommen, dass eine flache Zinsstrukturkurve vorliegt. Schließlich geht man ja von nur einem Zinssatz bei der Barwertberechnung aus. Das Zinsänderungsrisiko bezieht sich ferner nur darauf, dass sich der eine Zins, der für alle Perioden gilt, ab sofort ändert. Trotz dieser restriktiven Annahmen kommt der Duration als Risikokennzahl in der Praxis eine große Bedeutung zu.

Um eine weitere griffige und in der Literatur sehr geläufige Formulierung der Duration zu erhalten, werden wir uns im Weiteren der Barwertformel bedienen:

et - zukünftige Zahlung in Zeitpunkt t

Der Barwert - bzw. Kurs der Anleihe - ergibt sich als Summe der diskontierten Zahlungen, auf die die Anleihe berechtigt. Diese Barwertformel werden wir zunächst ableiten und dann die Ableitung in die Formel für die Duration einsetzen. Auf diese Art und Weise werden wir eine zusätzliche Interpretationsmöglichkeit der Macaulay-Duration kennen lernen.

Die Formel für die Duration lautet:

Einsetzen der Ableitung der Barwertfunktion nach dem Bruttozins liefert:

Durch Vereinfachung erhalten wir die folgende Form der Macaulay-Duration, die sehr häufig in der Literatur zu finden ist:

Der Bruch in der Summe ist gerade der Barwertanteil der einzelnen zukünftigen Zahlungen am gesamten Kurs (Barwert) der Anleihe. Mit diesem relativen Barwertanteil werden die jeweiligen Zahlungszeitpunkte gewichtet und aufaddiert. Die Duration ist also ein mit den Barwertanteilen gewichteter gewogener Durchschnitt der Zahlungszeitpunkte. Anders formuliert ist die Duration die "durchschnittliche Kapitalbindungsdauer". Es ist also der Zeitraum der im Mittel verstreicht, bis das gebundene Kapital zurückgeflossen ist.

Verdeutlichen wir uns das an einem Beispiel. Nehmen wir z. B. jeweils eine 3-jährige Kuponanleihe mit einem Kupon von 10% und von 15%. Sowie eine Kuponanleihe mit einem Kuponzins von 10% - jedoch mit einer 4 jährigen Laufzeit. Dann ergeben sich die folgenden Zahlungsreihen:

A: 10, 10, 110
B: 15, 15, 115
C: 10, 10, 10, 110

Die Umlaufrendite soll jeweils 10 % betragen. Dann ergeben sich die folgenden Barwerte respektive Kurse für die Anleihen:

PVA: 10/1,1 + 10/(1,12) + 110/(1,13) = 100
PVB: 15/1,1 + 15/(1,12) + 115/(1,13) = 112,43
PVC: 10/1,1 + 10/(1,12) + 10/(1,13) + 110/(1,14)=100

Nun können wir für die drei Anleihen die Duration bestimmen. Für Anleihe A ergibt sich:

Die Duration der Anleihe A ist schon relativ nah an der Laufzeit von 3 Jahren. Das ist darauf zurück zu führen, dass der größte "Brocken" der Hauptrückzahlung erst in T=3 erfolgt. Bei einem höheren Kuponzins ist die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer niedriger, weil die zwischenzeitlichen Zinszahlungen höher ausfallen:

Entsprechend führt die längere Laufzeit bei Anleihe C zu einer höheren Duration:

Eine höhere Rendite führt zu einer kürzeren bzw. niedrigeren Duration.

Wir können also zusammenfassen, dass die Duration von den folgenden Faktoren abhängig ist:

  • Laufzeit der Anleihe
  • Höhe des Kupons
  • Umlaufrendite bzw. Kurs der Anleihe
Für die Duration gilt, dass je höher der Nominalzins und die Rendite sind, desto niedriger ist die Duration. Der Zusammenhang zur Restlaufzeit ist nicht immer eindeutig. Zwar gilt tendenziell: Je höher die Restlaufzeit, desto höher ist die Duration. Dies gilt jedoch nicht immer. Ist beispielsweise der Kuponzins größer als der Kalkulationszins kann die Duration für bestimmte Restlaufzeit höher als die die Duration der ewigen Rente sein. Wird dann unter sonst gleichen Bedingungen eine längere Restlaufzeit untersucht, fällt die Duration und nähert sich asymptotisch der Duration der ewigen Rente an. Die Duration der ewigen Rente ist 1 + 1/Kalkulationszins.

Eine schöne Möglichkeit, sich die Duration bildlich vor zu stellen, besteht darin die Duration als Unterstützungspunkt einer Waage zu sehen. Die Waage ist dabei der Zeitstrahl, auf dem die jeweiligen Barwerte der einzelnen Zahlungen als "Gewichte" lasten. Wird der Zeitstrahl genau bei der Duration unterstützt, dann ist die Waage im Gleichgewicht.

Nehmen wir als Beispiel eine Kuponanleihe mit einer 3jährigen Laufzeit und einem Kuponzinssatz von 10%. Die sich ergebende Zahlungsreihe lautet dann: (10,10,110). Die Barwerte der Zahlungen sind bei einer Rendite von 10%: (9,09, 8,2645, 82,65). Die Duration dieser Anleihe ist - wie wir weiter oben bereits ausgerechnet hatten - 2,735 Jahre. Die folgende Graphik veranschaulicht diese Interpretation der Duration als Unterstützungspunkt der Barwerte-Waage:

Das Hebelgesetz, das wir noch aus dem Physik-Unterricht kennen, lautet: "Last mal Lastarm gleich Kraft mal Kraftarm". Wie wir aus der Abbildung erkennen, muss also der "Zeithebel" von dem jeweiligen Zeitpunkt bis zur Duration multipliziert mit dem entsprechenden Barwert für beide Seiten der Waage in Summe das gleiche ergeben. Das wollen wir mal ausrechnen:

Das soll gleich dem "Drehmoment" der rechten Seite sein:

Siehe da, die Wippe ist im Gleichgewicht, wenn sie bei der durchschnittlichen Kapitalbindungsdauer von 2,735 Jahren unterstützt wird.

Wie hoch ist nun die Duration eines Zerobonds? Grafisch erkennt man anhand der Wippe sofort, dass die Duration gleich der Laufzeit sein muss, weil andernfalls der Rückzahlungsturm umstürzen müsste. Schließlich erfolgt bei der Nullkuponanleihe nur eine einzige Zahlung am Ende der Laufzeit:

Dieses schöne intuitive Ergebnis, dass die Duration eines Zerobonds seiner Laufzeit entspricht, können wir auch analytisch zeigen: Der Rückzahlungsbetrag beim Zerobond mit einem Nennbetrag von N, einer Laufzeit von T und einem Zerobondzinssatz von z ist gerade:

Der Barwert ergibt sich zu:

Die Ableitung nach der Bruttorendite q ist dann:

Einsetzen in die Formel für die Duration ergibt:



Man kann fast alles wegkürzen, so dass sich schlussendlich ergibt:

D=T

Die graphische Intuition war also richtig: Die Duration eines Zerobonds ist gleich seiner Laufzeit. Man erkennt unschwer, dass Nullkuponanleihen viel stärker auf Zinsänderungen reagieren als z. B. Kuponanleihen.

Es verbleibt noch zu erwähnen, wie sich die Duration eines Anleihen-Korbes bestimmt: Die Duration eines Portfolios aus verschiedenen Anteilen errechnet sich ganz einfach als Summe der mit ihrem Barwertanteil am Gesamtwert des Portfolios gewichteten Einzeldurationen der im Portfolio befindlichen Anleihen:



Weiterentwicklungen des Durationskonzeptes

Mitte der 40er Jahre entwickelte John Hicks die Macaulay Duration weiter zur modifizierten Duration (modified duration - abgekürzt: MD). Sie berechnet sich sehr leicht aus der Duration, indem man die klassische Duration einfach durch die Bruttoumlaufrendite teilt.

Sie liefert eine relativ gute Abschätzung dafür, um wie viel Prozent der Kurs einer Anleihe sich ändert, wenn sich die Rendite, also der Kalkulationszinssatz, um 100 Basispunkte also 1 Prozent ändert. Die Duration der Kuponanleihe A hatten wir weiter oben bereits zu DA=2,735 bestimmt. Die modifizierte Duration ergibt sich dann bei der angenommenen Rendite von 10% zu: MD=2,735/1,1=2,49%. Mit anderen Worten: Wenn die Rendite um 1% steigt oder fällt, dann verändert sich der Kurs entsprechend um 2,49%. Der Kurs beträgt bei 10% 100€. Dieser Barwert verändert sich bei i=11% auf:

Es tritt genau das auf, was die modifizierte Duration vorhergesagt hat: Eine Renditesteigerung um 1% sorgt für eine Kurseinbuße von etwa 2,49%.

Falls man die Annahme eines einheitlichen Zinses fallen lässt, kommt man zu einem erheblich komplexeren Durations-Konzept, das auf verschiedenen Kalkulationszinssätzen, so genannten Key-Rates, basiert: Die Key-Rate-Duration.

Die Duration ist proportional zu marginalen Zinsänderungen. Bei größeren Zinssprüngen muss man die Barwertänderung anders abschätzen. An dieser Stelle hilft die Taylor-Reihe. Um den Funktionswert einer Funktion f(x) an der Stelle x+Delta ab zu schätzen, kann man auf die folgende Funktion zurückgreifen:

Die Taylor-Entwicklung konvergiert für gegen den tatsächlichen Funktionswert. Das zweite Glied der Taylor-Reihe greift auf die zweite Ableitung der Funktion zurück. Bei der Barwertfunktion wird diese zweite Ableitung auch als Konvexität C=B’’(q) bezeichnet. Zum Teil wird sie auch anders bezeichnet.

Duration eines Portfolios

Die Duration eines Portfolios lässt sich aus den einzelnen Durationen der in diesem Portfolio enthaltenen Zahlungsströme errechnen. Die Formel dafür lautet:

 

 
 
 
 
 
 
 


Die Duration jedes im Portfolio enthaltenen Zahlungsstromes wird mit seinem Barwertanteil gewichtet, so dass die Summe der gewichteten Durationen gerade die Gesamt-Duration des Portfolios ergibt!

 

Diese Behauptung möchte ich zunächst allgemein beweisen:

 

 

 

Einsetzen für die Gewichte wn ergibt:

 
 

 

Für jeden n-ten Zahlungsstrom kürzt sich jeweils PVn raus! Der Wert des Portfolios PVpf ist eine Konstante, so dass wir schreiben können:

 

 

 

Damit hätten wir unsere Behauptung bewiesen! Die Duration eines Portfolios ergibt sich als Summe der mit ihrem Barwertanteil gewichteten Einzel-Durationen.

Mithilfe des Durations-Konzeptes versuchen Banken und Versicherungen bei der so genannten Aktiv-Passiv-Steuerung, ihre Aktionäre gegen Zinsänderungsrisiken abzusichern. Das ist die Aufgabe des Asset-Liability-Managements. Ziel dabei ist das so genannte "Durations-Matching": Die Wertänderung des Vermögens soll bei einer Zinsänderung der Wertschwankungen der Verbindlichkeiten der Bank entsprechen, damit sich keine Auswirkungen auf den Wert des Eigenkapitals der Bank ergeben. Diesen Zusammenhang versucht die folgende Abbildung zu verdeutlichen:

 

 

Wenn man das mithilfe der Ableitung ausdrücken will, erhält man die folgende Forderung:

 

 

 

Die Wertschwankungen können mithilfe der modifizierten Duration ausgedrückt werden:

 

 

 

Durch Multiplikation auf beiden Seiten der Gleichung mit der Bruttorendite ergibt sich:

 

 

 

Den gleichen Zusammenhang hätten wir auch auf anderem Wege herleiten können. Denn schließlich ist das Ziel, dass der Wert des Eigenkapitals bei einer Zinsänderung konstant bleibt. Das Eigenkapital soll also eine Duration von Null haben:

 

 

 

Da der Unternehmenswert sich als Summe des Eigen- und des Fremdkapitals ergibt, kann die Gesamtduration des Unternehmens mithilfe der mit ihrem Barwertanteil gewichteten Durationen des Eigen- und des Fremdkapitals bestimmt werden. Denn schließlich ist der Unternehmenswert der Wert eines Portfolios, in dem sich alle Finanzierungstitel (also sowohl EK als auch FK) befinden:

 

 

 

Da das Eigenkapital keiner Wertschwankungen einer marginalen Zinsänderung unterliegen soll, muss die Duration des Eigenkapitals gleich Null sein, so dass sich die folgende Zielsetzungen für das Asset-Liability-Management ableiten lässt:

 

 

 

Gut. Natürlich war es jetzt keine große Überraschung, dass wir zum selben Ergebnis wie oben gelangen, aber dennoch ist auch die Erkenntnis interessant, dass sogar ganze Unternehmen eine Duration haben. Außerdem ist an dieser Stelle Vorsicht angebracht, denn selbstverständlich könnte trotz des Durations-Matchings eine starke Veränderung der Zinsen Einfluss auf den Wert des Eigenkapitals haben.

 

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