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Binomial-Verteilung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Optionsbewertung mit dem Binomialmodell

Bisher haben wir uns den Optionspreis bei nur zwei denkbaren Aktienkursen am Laufzeitende der Option angeschaut. Der Aktienkurs folgte - wie es im Statistiker Deutsch so schön heißt - einer Bernoulli-Verteilung. Das mit den 2 möglichen Aktienkursen am Laufzeitende der Option ist natürlich ein wenig dürftig, um damit die Realität angemessen zu approximieren. Erfreulicherweise kann das 2-Zustandsmodell sinnvoll erweitert werden, so dass man zum Binomialmodell gelangt.

 
Das Binomialmodell wurde von den Wirtschaftswissenschaftlern Cox, Ross und Rubinstein entwickelt und im Jahre 1979 im Journal of Financial Economics (Band 7, Seite 229-263) unter dem Titel: "Options pricing: a simplified approach" publiziert. Dieser Artikel gehört mittlerweile zur Standard Finance-Literatur! Die Idee von Cox, Ross und Rubinstein ist eigentlich ziemlich simpel: Sie modellieren die reale Aktienkursentwicklung, indem sie viele kleine Bernoulli-Verteilungen hintereinander schalten. Das machen sie n mal, so dass sich die Laufzeit T in n Zeitintervalle der Länge T/n aufteilt.
 
 

Im Zeitpunkt t=0 ist der Aktienkurs gerade S0. Ich werde hier im Weiteren T=3 und n=3 setzen. Zu jedem Zeitpunkt kann der Aktienkurs entweder um den Faktor u (für up) steigen oder mit dem Faktor d (für down) fallen. Um sicher zu gehen, dass kein "Free Lunch" erzielbar ist und auf den Kapitalmärkten Arbitragefreiheit herrscht, muss der Down-Faktor d kleiner als der risikolose Zins r sein: d < r < u!

 
 

In der folgenden Abbildung ist der vollständige Binomialbaum mit allen möglichen Aktienkursen zu den Zeitpunkten t=0, 1, 2 und 3 dargestellt:

Wenn wir annehmen, dass der Up-Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit p und der Down-Zustand jeweils mit (1-p) eintreten kann, dann ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Aktienkurs in T:
 

In der Tabelle rechts sieht man die möglichen Aktienkurse in T und ihre jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten müssen in Summe 1 ergeben! Denn einer der vier Kurse wird sich am Ende der Optionslaufzeit in T einstellen.

 

Da es bei jeder "Ziehung" immer nur zwei mögliche Ausgänge gibt, die - wie wir annehmen - auch noch unabhängig voneinander sein sollen, ähnelt das Ganze ein wenig dem wiederholten Münzwurf! Wir erinnern uns an unsere Schulzeit bzw. den Statistik-Unterricht im Grundstudium und erkennen, dass der Aktienkurs ST in T einer Binomialverteilung folgt. Es gilt:

 

 

k soll dabei die Anzahl der Aufwärtsbewegungen sein. Als kleiner Rechentipp sei noch angemerkt, dass man die große Klammer mit n und k als "n über k" liest und auf die folgende Art und Weise rechnet:
 
 
Wir betrachten den Fall, dass der Aktienkurs 3 Mal in Folge gefallen ist. Dann stellt sich in T ein Kurs von ST=d3S0 ein. (Das ist in der Realität übrigens laut Murphys Law IMMER so, wenn man diese Aktie gekauft hat!). Die Eintrittswahrscheinlichkeit für diesen Kurs bestimmen wir mit Hilfe der folgenden Rechnung:
 
 

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, die wir weiter oben im Binomialbaum "per Hand" ausgerechnet hatten!

Jetzt verfügen wir über das nötige Rüstzeug, um uns die Optionspreisentwicklung entlang des Binomialbaumes anzuschauen. Am besten machen wir das anhand eines Zahlenbeispiels! Betrachtet werden soll ein Call mit einem Strike von 102 Euro. Der aktuelle Aktienkurs beträgt 100 Euro, folglich ist die Option in t=0 aus dem Geld. Es werden n=3 Subperioden betrachtet und es gilt: u=1,10 - r=1,01 - d=0,95. Zum Ausübungszeitpunkt entspricht der Optionswert seinem inneren Wert!

 
Um den Wert des Calls während der Laufzeit zu bestimmen, müssen wir den Binomialbaum rückwärts abarbeiten. Die grundsätzliche Vorgehensweise verdeutlichen wir uns, indem wir rechts oben beginnen:
 
 
 

Der Ausschnitt des Binomialbaumes ist nichts anderes als ein kleines 2-Zeitpunkts-2-Zustands-Modell. Mit dem weiter oben erarbeiteten Wissen können wir nun den Optionswert in diesem Knoten bestimmen. Falls das No-Arbitrage-Prinzip erfüllt ist, kann man die Rückflüsse der Option mit Hilfe von

 
 

Aktien und einer Kreditaufnahme in Höhe von:

 
 

replizieren. Der Call im Knoten muss den gleichen Preis wie dieses Äquivalenzportfolio haben.

 
 
 
Alternativ hatten wir den Wert des Calls weiter oben mithilfe der risikolosen Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt:
 
 
 
 
 

Wenn ich die risikolosen Wahrscheinlichkeiten einsetzte, sieht der Term folgendermaßen aus:

 

 
 
 

Wir können c2 folgendermaßen berechnen:

 

 
 
 

Die risikolose Wahrscheinlichkeit für den Up-Zustand beträgt:

 

 
 
 
 
 

und für den Down-Zustand folglich:

 

 
 
 
 

Wir können mit den risikolosen Wahrscheinlichkeiten c2 ebenfalls elegant berechnen:

 

 
 

Jetzt weißt Du alles, was Du wissen musst, um den Binomialbaum komplett auszufüllen! Hier meine Lösung:

 

 
 

Es ergibt sich in t=0 ein Callpreis von 5,55 Euro! Da der innere Wert null ist, besteht der Optionswert nur aus dem Zeitwert! Außerdem liegt der Wert der Option in t=0 noch ca. 4,50 über der unteren Preisschranke für europäische und amerikanische Calls: Max[0;100-102/1,013]=0,9998.

 
 
 
 
Nachdem wir uns das grundsätzliche Bewertungsprinzip verdeutlicht haben, können wir nun im nächsten Schritt die allgemeine Bewertungsformel aufstellen! Ihr habt Euch bestimmt schon gefragt, warum ich weiter oben bei dem Binomialbaum mit Eintrittswahrscheinlichkeiten gearbeitet habe. Schließlich erfolgt die Bewertung des Calls doch unabhängig von den Eintrittswahrscheinlichkeiten des Up- und des Down-Zustandes! Das liegt daran, dass wir die für Bestimmung des Optionswertes auf die risikolosen bzw. risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten zurückgreifen können. Stellen wir zunächst allgemein den Binomialbaum für n=2 auf:
 
 

Wir fangen wieder rechts oben an:

 

und arbeiten uns dann weiter vor:

Jetzt können wir c0 bestimmen:

Nun müssen cu und cd eingesetzt werden:

Um das Ganze zu vereinfachen, klammere ich den Bruch mit dem risikolosen Zins aus und fasse die übrigen Terme zusammen:

 
 
 
 
Jeder mögliche Endwert der Option (im Beispiel sind es: cuu, cud und cdd) wird mit der durch die Binomialverteilung für diesen Optionswert bestimmten Wahrscheinlichkeit gewichtet! Dazu werden die risikolosen Wahrscheinlichkeiten verwendet! Die mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichteten Endwerte werden summiert, so dass man eine auf den risikolosen Wahrscheinlichkeiten basierenden Erwartungswert erhält. Der auf diesem Wege bestimmte Erwartungswert wird mit dem sicheren Bruttozins über die n Perioden diskontiert! Die Binomialverteilung liefert beispielsweise für eine Aufwärts- und eine Abwärtsbewegung die risikolosen Wahrscheinlichkeit von 2q*·p*. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird der Callpreis cud gewichtet. Für zwei Abwärtsbewegung liefert die Binomialverteilung q*2=(1-p*)2. Damit wird bei der "Erwartungswertbildung" cdd gewichtet, etc..
 
Wenn wir die Formel für den Optionswert allgemein formulieren, erhalten wir:
 
 
k ist dabei die Zahl der Aufwärtsbewegungen. Um das Ganze zu einem Ende zu bringen, stellt sich die Frage, wie viel der jeweilige Optionsendwert schlussendlich beträgt. Die Antwort lautet:
 
 
 
Wir suchen nun den kritischen Wert a für die benötigte Anzahl von Aufwärtsbewegungen, ab der der Endwert des Underlying zum Ausübungszeitpunkt T tatsächlich größer als der Ausübungspreis E ist:
 
 
Auflösen nach dem kritischen Wert a ergibt:
 
 
 
Bei a muss es sich um eine ganze Zahl handeln. Sollte sich auf der rechten Seite keine ganze Zahl ergeben, dann nimmt man die nächst größere ganze Zahl! Da alle Optionsendwerte, für die k < a gilt, in T NICHTS wert sind, brauchen wir sie bei der Erwartungswertbildung nicht zu berücksichtigen. Wir summieren daher nur noch von k=a bis zur Anzahl der Subperioden n auf:
 
 
 
 
 
Das ist es jetzt eigentlich schon. Wir sind fertig! Was jetzt noch folgt, sind nur noch ein paar kleinere Umformungen, um die Bewertungsgleichung in die normalerweise verwendete Form umzuschreiben. Das machen wir u. a. deshalb, damit ihr später besser erkennen könnt, dass die Bewertungsformel des Binomialmodels von der Struktur dem Modell von Black und Scholes entspricht. Tatsächlich kann man sogar zeigen, dass für n gegen Unendlich die beiden Formeln ineinander übergehen!
 
Wir multiplizieren in die letzte Klammer und spalten das Ganze so auf, dass sich die folgende Differenz bildet:
 
 
 
Bei dem linken Term ziehen wir den Diskontierungsfaktor in die Summe! Dabei bedienen wir uns des kleinen "Rechentricks", dass folgender Zusammenhang gilt:
 
 
Außerdem fassen wir alles, was hoch n und alles was hoch n-k ist, zusammen! S ziehen wir ebenfalls aus der Summe heraus! Bei dem rechten Term ziehen wir den Ausübungspreis aus der Summe:
 
 
Die neuen Klammerterme in der Klammer vor S nennt man Pseudo-Wahrscheinlichkeiten. Ich schreibe für sie:
 

und

 

 

 

Ihre Summe ist 1. Das könnt ihr ja mal nachrechnen! Es gilt dabei d

 


 

E - Ausübungspreis

n - Anzahl der Perioden

c - Wert des Calls

S0 - Aktienkurs in t=0

a - Anzahl der Aufwärtsbewegungen, die mindestens notwendig sind, damit der Call im Geld ist.

 

Insgesamt ergibt sich der Optionswert als Differenz zwischen dem irgendwie gewichteten aktuellen Aktienkurs und dem auch irgendwie gewichteten sowie mit dem risikolosen Zins diskontierten Ausübungspreis. Das ist ja nicht wirklich überraschend oder? Der aktuelle Aktienkurs wird mit der Wahrscheinlichkeit dafür gewichtet, dass zum Ausübungszeitpunkt der Aktienkurs größer als der Ausübungspreis ist, wenn die Pseudowahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung um den Faktor u entspricht! Beim zweiten Term wiederholt sich dieses Spiel. Nur dieses Mal mit den risikolosen Wahrscheinlichkeiten statt mit den Pseudowahrscheinlichkeiten. Der mit dem risikolosen Zins diskontierte Ausübungspreis, beziehungsweise Strike, wird mit der risikolosen Wahrscheinlichkeit dafür gewichtet, dass ebenfalls zum Ausübungszeitpunkt gilt, dass der Aktienkurs über dem Strike liegt. Nur diesmal unter der Voraussetzung, dass in jeder Subperiode die Aufwärtsbewegung u mit p* und die Abwärtsbewegung d mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit auftritt.

Mit unserer Allzweckwaffe, der Put-Call-Parität, können wir relativ schnell anhand der Bewertungsformeln für den Call auch eine Formel für den Wert des europäischen Puts aufstellen. Mit

 

 

 

ergibt sich:

 


 

Man beachte, dass die Summen jetzt nicht von a bis n, sondern von 0 bis a-1 laufen! Schließlich ist der Put nur dann etwas wert, wenn der Kurs des Underlying unterhalb des Ausübungspreises liegt!

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 409-410

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 537ff

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Option Pricing: A Simplified Approach. Cox, John C. / Stephen Ross

1979, Journal of Financial Economics, S. 229-263.

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