Bernoulli-Verteilung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Kaufoptionsbewertung bei Bernoulli-Verteilung

Die folgenden Überlegungen basieren auf den folgenen Annahmen:

  • Wertpapiere sind beliebig teilbar
  • Keine Transaktionskosten
  • Zins ist konstant und für alle Marktteilnehmer einheitlich
  • Es herrscht Arbitragefreiheit

Der faire Preis einer Option lässt sich mit Hilfe des "No-Arbitrage-Prinzips" bestimmen. Dazu konstruiert man ein Portfolio, das die gleichen Payoffs (Rückflüsse) wie die zu bewertende Option liefert, indem man das Underlying der Option kauft und einen Kredit aufnimmt. Auf arbitragefreien Märkten entspricht der Preis der Option dem Preis des Äquivalenzportfolios, da es sich bei den beiden Positionen, Option und Duplikationsportfolio, um gleichwertige also äquivalente Positionen handelt.

 

Das Duplikationsportfolio liefert zum Ausübungszeitpunkt t = 1 die gleichen Payoffs wie die zu bewertenden Kaufoption und sollte deshalb in t = 0 den gleichen Preis haben.

Der einfachste Fall einer Aktienkursentwicklung ist eine Zwei-Punkt-Verteilung in t = 1. Wir nehmen an, dass der heutige Aktienkurs in t = 1 die folgenden beiden Werte annehmen kann:

Für die Kreditzinsen r, die wir hier stets als Bruttozinsen angeben, gilt: d < r < u.

Unser Ziel besteht zunächst in der Konstruktion eines Duplikationsportfolios für einen europäischen Call. Er soll einen Strike bzw. Exercise Price von E haben. Zur Veranschaulichung betrachten wir das folgende Zahlenbeispiel:

  • S0 = 100 Euro
  • E = 120 Euro
  • u = 1,4
  • d = 1,05
  • r = 1,10

Der Aktienkurs S1 zum Ausübungszeitpunkt der Kaufoption kann also die Werte uS0 = 140 Euro und dS0=105 Euro annehmen. Der Optionshalter wird im Falle des hohen Aktienkurses seine Option ausüben und eine Auszahlung in Höhe von cu = 140 Euro - 120 Euro = 20 Euro erhalten. Im Falle des niedrigen Aktienkurses wird er seine Option verfallen lassen und folglich nur die Auszahlung von cd = O erhalten. Diese beiden Optionsendwerte sollen jetzt mit Hilfe eines Duplikationsportfolios aus a Aktien und einer Kreditaufnahme in Höhe von b Euro repliziert werden:

erste Gleichung:


zweite Gleichung:

Wir subtrahieren von der ersten die zweite Gleichung:

Die Gleichung wird nach der Aktienanzahl a im Duplikationsportfolio aufgelöst:

Den Term für a setzen wir jetzt in die erste Gleichung ein:

Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit (u-d). Der Aktienkurs S0 kürzt sich raus.



 

Damit haben wir die Formeln für a und b bestimmt. Zur Veranschaulichung werden wir jetzt ausrechnen, wie sich das Äquivalenzportfolio in unserem Zahlenbeispiel zusammensetzt:


 

Hier erkennt man, wofür wir die Annahme benötigen, dass Wertpapiere beliebig teilbar sind. In unserem Äquivalenzportfolio befindet sich nämlich mit a=0,57 etwas mehr als eine halbe Aktie. Der Geldbetrag b in unserem Duplikationsportfolio ist IMMER negativ. Aus diesem Grund habe ich von Anfang an davon gesprochen, dass sich im Duplikationsportfolio neben Aktien auch ein KREDIT befindet.

Im Fall des hohen Aktienkurses von 140 Euro erhalten wir durch Verkauf unserer 0,57 Aktien gerade: 0,57·140 Euro=80 Euro. Außerdem müssen wir unseren Kredit in Höhe von 54,54 Euro mit r=10% verzinst zurückzahlen: 1,1·54,54 Euro= 60 Euro. Bei einem hohen Aktienkurs ist unser DPF also gerade 80 Euro - 60 Euro = 20 Euro wert. Was für ein Zufall! Das ist ja genauso viel, wie wir bekommen, wenn wir unsere Kaufoption mit einem Strike von 120 Euro ausüben: 140 Euro - 120 Euro = 20 Euro.

Sollte der Aktienkurs jedoch nur bei 105 Euro landen, dann können wir durch den Verkauf unserer 0,57 Aktien gerade mal unsere Schulden in Höhe von 60 Euro bezahlen: 0,57·105 Euro - 1,1·54,54 Euro = 0. Es ist also tatsächlich so, dass das DPF die GLEICHEN Rückflüsse wie die Kaufoption in t=T liefert. Folglich sollte es bei Arbitragefreiheit auch den gleichen Preis haben! Aus diesem Grund ist der faire Preis c0 für die Option in t=0 gerade:

c0=a·S0 + b

Der Preis der Option ist quasi das, was wir beim Zusammenstellen des Duplikationsportfolios aus eigener Tasche berappen müssen. Schließlich können wir einen Teil der a Aktien, die wir kaufen müssen, mit Hilfe des Kredits in Höhe von b bezahlen. Das, was darüber hinausgeht, ist der faire Preis für die Option.

Einsetzen ergibt:

Wir kürzen beim ersten Term S0, erweitern den Bruch mit r auf den Hauptnenner (u-d)r und erhalten:

Durch Umstellen im Zähler kommen wir am Ziel unserer Träume an: Die Formel für den Preis des Calls zum Zeitpunkt t=0, also VOR der Fälligkeit!

Das ist also der heutige faire Preis einer Kaufoption, wenn das No-Arbitrage-Prinzip gilt. Die Formel ist in dieser Form noch nicht besonders anschaulich. Eins sollte Euch aber auffallen: Der Wert des Calls ist zwar von den Rückflüssen des Calls im guten und schlechten Zustand abhängig, allerdings NICHT von den Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden Zustände. Super oder?

Wie viel ist also unser Call im Zeitpunkt t=0 wert? Einsetzen ergibt:

Euro

Das hätten wir natürlich auch schneller mit den bereits bestimmten Wert von a = 0,5714 Aktien und b = -54,54 Euro bestimmen können: 100·0,5714 - 54,54 = 2,6 Euro. Das ist also der faire Preis, der bei Arbitragefreiheit für die Kaufoption in unserem Beispiel gezahlt werden müsste.

Wir können die Formel für den Optionspreis so umschreiben, dass es den Anschein hat, als ob sich der Optionswert als ein mit r abgezinster Erwartungswert ergibt:

Der gute Zustand hat die Wahrscheinlichkeit:

Der schlechte Zustand mit niedrigem Aktien- und Callwert hat die Gegenwahrscheinlichkeit:

Was sind das aber nun für Wahrscheinlichkeiten, die NICHT gleich den Eintrittswahrscheinlichkeiten des guten bzw. des schlechten Zustandes sind?

Diese Wahrscheinlichkeiten werden risikoneutrale oder risikolose Wahrscheinlichkeiten genannt. Warum das so ist, erkennt man, wenn man den Erwartungswert des Aktienkurses E(ST) unter der Annahme berechnet, dass der gute Zustand mit der Wahrscheinlichkeit p* und der schlechte Zustand mit der Wahrscheinlichkeit 1-p* eintritt:




 

Bezüglich der risikolosen bzw. risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten erbringt die Aktie gerade die risikolose erwartete Rendite. Interessant oder?

Das beste Buch zum Thema Optionen stammt von dem in Kanada lehrenden Prof. Hull. Es gibt zwar auch eine deutsche Übersetzung, aber die finde ich persönlich nicht so gut.

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 408

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