Optionsbewertung

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Wie viel sind Optionen während der Laufzeit wert?

Der Wert einer europäischen Option vor dem Ausübungszeitpunkt setzt sich aus zwei Teilkomponenten zusammen: Dem inneren Wert und dem Zeitwert. Der innere Wert ist der Wert, den die Option hätte, wenn sie sofort ausgeübt werden müsste. Für einen Call, also eine Kaufoption, gilt beispielsweise: c = Max[0, S-E]. S steht für den Kurs des Underlyings und E ist der Exercise Price. Vor dem Ausübungszeitpunkt ist der Call jedoch mehr wert, da noch die Möglichkeit besteht, dass der Aktienkurs weiter steigt.

Die Chance auf eine Aktienkurssteigerung ist dann besonders viel wert, wenn die Option am-Geld (englisch: at-the-money) ist. Damit ist gemeint, dass der Ausübungspreis dem Aktienkurs entspricht. In diesem Fall ist der innere Wert der Option Null!

Die Option ist aus-dem-Geld (englisch: out-of-the-money), wenn der Aktienkurs unterhalb des Ausübungspreises liegt. In diesem Fall müsste der Aktienkurs noch ein ganzes Stück ansteigen, bevor sich die Ausübung lohnen würde.

Für Kaufoptionen, die sehr weit im-Geld (englisch: in-the-money) sind, ist die Ausübung fast sicher, so dass sich der Wert der Option dem inneren Wert (also beim Call: Aktienkurs minus Ausübungspreis) annähert. In der folgenden Abbildung ist der Wertverlauf einer Kaufoption VOR dem Ausübungszeitpunkt aufgezeichnet:

Für Verkaufsoptionen, so genannte Puts, sieht der Wertverlauf folgendermaßen aus:

Die entscheidende Frage, mit der wir uns hier im Weiteren beschäftigen wollen, lautet: Was bestimmt die Höhe des Zeitwertes einer Option? Ich nehme hier einen Kunstgriff vor und präsentiere als erstes das Ergebnis der späteren Überlegungen:

Bei den Einflüssen der externen Größen auf den Wert der Option - so wie er in der voranstehenden Tabelle dargestellt ist - handelt es sich stets um ceteris paribus Betrachtungen. Damit ist gemeint, dass alle anderen exogenen Einflussfaktoren unverändert bleiben.

Die Stärke der Reaktion des Optionswertes bei Veränderung eines Einflussfakors ist abhängig davon, wie stark die Option im-Geld bzw. aus-dem-Geld ist. Hier kommen die so genannten Griechen (englisch: Greeks) ins Spiel. Bei den Griechen handelt es sich um Optionskennzahlen, die mit Hilfe partieller Ableitungen des Optionswertes Auskunft über die Stärke der Wertreaktion geben.

Das weitere Vorgehen ist wie folgt: Als erstes werden wir grundsätzliche Überlegungen zur Optionsbewertung bei diskreten Aktienkursverteilungen anstellen. Auf diesem Wege werden wir das No-Arbitrage-Prinzip, auf dem die präferenzfreie Bewertung von Optionen basiert, kennen und verstehen lernen. Dann werden wir das Binomialmodell behandeln. Auch bei diesem Modell folgt der Aktienkurs einer diskreten Verteilung und auch dieses Modell ist zeitdiskret mit n Perioden. Lässt man die n-Perioden gegen einen kontinuierlichen Zeitverlauf mit unendlich vielen Subperioden konvergieren, dann erhält man als Grenzwert des Binomialmodells das Modell von Black & Scholes, das zwar immer noch nicht der Weisheit letzter Schluss ist, aber doch schon eine gute Annäherung an die tatsächlichen fairen Preise liefert. So ganz schlecht kann das Modell von Black & Scholes nicht sein, schließlich hat zumindest Myron Scholes dafür 1997 den Nobelpreis bekommen. Fisher Black hat die Ehrung leider nicht mehr erlebt. Er starb zwei Jahre zuvor an Kehlkopfkrebs.

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