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Das CAPM

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) wurde von Sharpe, Lintner und Mossin entwickelt. Es handelt sich dabei um ein einperiodiges Modell, das auf der Portfoliotheorie von Harry Markowitz basiert. Entsprechend werden die wesentlichen Annahmen der Portfoliotheorie auch für das CAPM übernommen. Zudem kommen noch einige zusätzliche Annahmen hinzu, damit man die moderne Portfoliotheorie als Erklärungsansatz für das tatsächliche Verhalten der Anleger im Marktgleichgewicht  uminterpretieren kann.

Sharpe, Lintner und Mossin nehmen an, dass alle Investoren die gleichen - oder eleganter ausgedrückt - "homogene" Erwartungen hinsichtlich der erwarteten Renditen der Wertpapiere, ihren Varianzen und Kovarianzen haben. Man geht von der Existenz eines risikolosen Wertpapieres aus, das unbegrenzt leerverkauft werden kann. Daraus folgt die Tobin-Separation: Alle Investoren  halten in ihrem Portfolio eine Mischung aus dem riskanten Tangentialportfolio, bei dem die Kapitalmarktlinie den effizienten Rand tangiert, und der sicheren Anlage.

Im Marktportfolio sind alle Wertpapiere entsprechend ihres Anteils am Gesamtwert aller Wertpapiere enthalten. Im Gleichgewicht, das das CAPM unterstellt, existieren markträumende Preise - also weder eine Überhangnachfrage noch ein Überhangangebot an Wertpapieren.

Da das CAPM auf der Portfoliotheorie aufbaut, kann Kapitalzuteilungsgerade übernommen werden. Sie wird nun als Kapitalmarktlinie (engl.: Capital Market Line) bezeichnet:

Die Annahmen, auf denen das CAPM beruht, stellen eine Vereinfachung der Realität dar.  Denn  offensichtlich haben nicht alle Investoren die gleichen Erwartungen und selbstverständlich halten nicht alle Investoren in ihrem Portfolio nur die sichere Anlage und das Marktportfolio. Das Marktportfolio zu erwerben ist schließlich unmöglich, da im Marktportfolio ALLE Anlageformen enthalten sein sollen! Aufgrund der vereinfachenden Annahmen handelt es sich bei dem CAPM nicht um eine Beschreibung der Realität, sondern vielmehr um ein vor dem Hintergrund der restriktiven Annahmen in sich schlüssiges Theoriegebäude, das beschreibt, wie sich die Investoren verhalten sollten, wenn sie nur einperiodig handeln würden, die Renditen normalverteilt wären, die Investoren anhand des Mü-Sigma-Prinzips entscheiden würden und alle Investoren die gleiche Sicht der Zukunft hätten.

Die Steigung der Kapitalmarktlinie im Gleichgewicht des CAPMs ist:

Damit ergibt sich für die erwartete Rendite ri eines Portfolios I folgender funktionaler Zusammenhang für die Kapitalmarktlinie:

Die Steigung der Kapitalmarktgeraden nennt man "Marktpreis für die Risikoänderung um eine Risikoeinheit". Die Risikoprämie E(rm)-rs ist der "Marktpreis für die Risikoübernahme im Gleichgewicht". Die Kapitalmarktlinie leitet also Kapitalmarktkosten unter Unsicherheit her.

Das eigentliche CAPM versucht nun den Preis einzelner Wertpapiere im Gleichgewicht zu bestimmen. Das geschieht mit Hilfe der Wertpapiermarktlinie (Security Market Line), die man leicht mit der Kapitalmarktlinie verwechselt.

 

Herleitung der Wertpapiermarktlinie

Aber leiten wir die zentrale Gleichung des CAPMs der Reihe nach her: Wir hatten ja schon oben gelernt, dass jedes Wertpapier i im Marktportfolio enthalten ist. Diesen Zusammenhang werden wir im Weiteren bei der analytischen Herleitung des CAPM verwenden.

Wir betrachten ein Portfolio X, das nicht dem Marktportfolio entspricht, sondern aus dem Wertpapier i mit dem prozentualen wertmäßigen Anteil xi und aus dem Marktportfolio zu einem Anteil (1-xi) besteht. Wenn der Anteil xi=0 ist, dann entspricht das Portfolio X dem Marktportfolio. D. h., dass auch wenn xi=0 gilt, der wertmäßige Anteil des Wertpapieres i nicht Null, sondern gleich seinem Anteil im Marktportfolio ist.

Die erwartete Rendite des Portfolios X ergibt sich dann als Linearkombination der erwarteten Renditen zu:

Wir erinnern uns an die Ausführungen zur Portfoliotheorie von Harry Markowitz. Die Standardabweichung der Rendite des hier betrachteten Portfolios entspricht von der Struktur her der Standardabweichung eines Portfolios aus 2 Wertpapieren. Nur dass hier das eine "Wertpapier" das Marktportfolio ist:

Der letzte Term unter der Wurzel steht für die Kovarianz zwischen der Marktrendite und der Rendite des Wertpapiers i. Wir werden im Weiteren die partiellen Ableitungen von E(rx) und der Standardabweichung des Portfolios X nach dem Anteil xi bilden. Im Marktgleichgewicht ist der Anteil xi gerade gleich Null, da das Wertpapier i ja bereits im Marktportfolio enthalten ist und deshalb kein zusätzlicher Anteil xi vorhanden ist. Diesen Zusammenhang verdeutlicht die folgende Grafik:

 

 

 

Folgerichtig werden wir im Weiteren also die partiellen Ableitungen an dem Punkt xi=0 betrachten.

 

Wir betrachten nun die partielle Ableitung unseres Portfolios, für den Fall, dass es mit dem Marktportfolio identisch ist und somit xi=0 gilt. Nachdem wir das getan haben, teilen wir die partiellen Ableitungen durch einander und erhalten auf diesem Wege das Risiko-Rendite-Austauschverhältnis, also die Grenzrate der Substitution zwischen Risiko und Renditeerwartung. Für xi=0 gilt:



Die Grenzrate der Substitution, also das marginale Risiko-Rendite-Austauschverhältnis, ist dann:

Im Gleichgewicht ist sie genauso groß wie die Steigung der Kapitalmarktgerade. Schließlich sind das Marktportfolio und das risikoeffiziente Tangentialportfolio identisch:

 

 

 

Wir können also den "Marktpreis für die Risikoänderung um eine Risikoeinheit" (also die Steigung der Kapitalmarktlinie) mit der Grenzrate der Substitution gleichsetzen:

Das CAPM macht nun eine Aussage über die erwartete bzw. geforderte Rendite E(ri) des Wertpapiers i im Marktgleichgewicht. Um zu dieser Kernaussage des CAPM zu gelangen, müssen wir die letzte Gleichung einfach nach der erwarteten Rendite E(ri) des Wertpapiers i umstellen:







Wenn wir die letzte Gleichung noch vereinfachen, erhalten wir die zentrale Gleichung des CAPM: Die Wertpapierlinie (engl.: Security Market Line):

 

Man erkennt aus der Gleichung, dass der Beta-Faktor entscheidend für die Renditeforderung der Anleger ist. Beta steht für:

 

Die Wertpapierlinie ist in der folgenden Abbildung aufgeführt:

Für die risikolose Anlage gilt:

 

Für das Marktportfolio ist Beta natürlich eins:

 

Die Renditeforderungen der Investoren sind laut CAPM eine lineare Funktion von Beta. Der Faktor Beta bezieht sich nur auf das systematische Risiko. Das unsystematische Risiko spielt für den perfekt diversifizierten Investor keine Rolle und entsprechend beeinflusst es seine Renditeforderungen nicht. Das ist eine echt krasse Aussage, die mir intuitiv Magenschmerzen bereitet, aber vor dem Hintergrund der hier getroffenen Annahmen schlüssig ist.

Bei empirischen Untersuchungen wird häufig eine lineare Regression durchgeführt, bei der die Wertpapier-Rendite durch die Marktrendite erklärt werden soll:

 

Für die Streuung ausgedrückt durch die Varianz gilt dann:

Das Beta dieser Regression wird häufig als Schätzwert für das tatsächliche Beta eines Unternehmens verwendet.

Dabei ist es natürlich sehr problematisch mit Hilfe von Datenmaterial aus der Vergangenheit die Gegenwart bzw. die Zukunft beschreiben zu wollen. Darüber wird geflissentlich hinweggesehen. Außerdem stellt sich bei einer empirischen Regression immer die Frage, was denn nun das Marktportfolio sein soll. Schließlich sind in ihm im Modell ALLE Anlageformen enthalten. In der Regel wird einfach irgendeine Benchmark genommen, wie z. B. der DAX. Das CAPM ist eines der erfolgreichsten Finance-Modelle überhaupt!

Im Perridon/Steiner Finanzwirtschaft der Unternehmung (Vahlen Handbücher der Wirtschafts- u. Sozialwissenschaften) wird das CAPM detailliert erläutert.

 

Betafaktor eines Portfolios

Der Betafaktor eines Portfolios lässt sich mithilfe der einzelnen individuellen Betafaktoren, der im Portfolio enthaltenen Aktien bestimmen. Dafür will ich jetzt nicht den allgemeingültigen Beweis antreten, sondern mich auf den Fall mit lediglich zwei Aktien beschränken. Der wertmäßige Anteil der ersten Aktie am Gesamtportfolio soll x und der Anteil der zweiten Aktie entsprechend 1-x sein. Die Rendite des Marktes ist rm und die meines Zwei-Aktien-Portfolios soll rp sein. Sie ergibt sich zu:





Für das Beta des Portfolios gilt:

 

Der Trick, den wir jetzt anwenden, besteht darin, dass der Zähler so umgeformt wird, dass wir dort Cov(r1, rm) und Cov (r2, rm) stehen haben. Denn schließlich gilt:

und

Wir beginnen mit der Umformung, wobei wir die folgende Rechenregel verwenden:



Damit ergibt sich für die Kovarianzen:



Den so umgeformten Zähler setzen wir wieder in die Definitions-Gleichung des Betafaktors unseres Portfolios ein und erhalten:

Der Betafaktor des Portfolios ergibt sich also als Durchschnitt der mit dem wertmäßigen Anteil der im Portfolio enthaltenen Aktien gewichteten Betafaktoren. Anders formuliert: Wenn wir nur Aktien mit einem Beta von 0,7 in unser Portfolio aufnehmen, dann hat es insgesamt gerade ein Beta von 0,7. Es ist also möglich, durch geschickte Aktienauswahl das Beta des Portfolios zu steuern. Allgemein gilt:

 

"Unlevering" und "Relevering"

Der Unternehmenswert ist definiert als der Wert der Summe aller Finanzierungstitel des Unternehmens. In Abwesenheit hybrider Finanzierungsinstrumente ist der Unternehmenswert also gleich der Summe aus Eigen- und Fremdkapital. Anders formuliert, entspricht der Unternehmenswert dem Wert des Portfolios aller Eigenkapital- und Fremdkapitaltitel. Aus diesem Grund kann man das Beta des Unternehmenswertes berechnen, indem man die gewichtete Summe aus dem Beta des Eigenkapitals und dem Beta des Fremdkapitals bildet. Als Gewichtungsfaktor verwendet man dabei jeweils den wertmäßigen Anteil am "Portfolio", also am Unternehmenswert. Mit anderen Worten: Das Eigenkapital Beta wird mit der Eigenkapitalquote und das Fremdkapital Beta mit der Fremdkapitalquote gewichtet.

 

 

Der Vorgang des "Zurückschließens" vom Eigenkapitalbeta auf das Beta des eigentlichen Geschäftsbereiches nennt man auf Englisch "Unlevering". Dieser Vorgang ist sinnvoll, wenn man auf der Suche nach Betafaktoren von Vergleichsunternehmen ist, die eine abweichende Kapitalstruktur aufweisen.

Um mit Hilfe der gefundenen Vergleichsbetafaktoren eine Abschätzung für das Eigenkapital Beta eines Unternehmens mit vergleichbarem Geschäftsrisiko aber abweichendem Kapitalstrukturrisiko durchzuführen, muss in einem zweiten Schritt das mit Hilfe des "Unlevering" gewonnene Beta wieder an die Verschuldung angepasst werden. Dieser Vorgang wird auf Englisch "Relevering" genannt.

 

 

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 13. Auflage: S.274-287

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Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 5. Auflage: S. 187-227

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 77-80

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Principles of Corporate Finance R. A. Brealey/ S. C. Myers/ F. Allen

2007, McGraw Hill, 195-205; 995-996; 999

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Risikomanagement und Kapitalmarkt Hans-Markus Callsen-Bracker, Hans Hirth

2010, Callsen-Bracker Verlag, S. 57-72

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