Literatur zum Thema
Finanzwirtschaft der Unternehmung

Jetzt bei Amazon bestellen
Finanzierung und Investition

Jetzt bei Amazon bestellen
Principles of Corporate Finance

Jetzt bei Amazon bestellen

Kapitel 2: Harry Markowitz und die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Aktienrenditen sind aufgrund der schwankenden Aktienkurse unsicher. Wenn man in Aktien investiert, dann interessiert man sich für die zukünftigen Aktienrenditeschwankungen. Als Maß für die Schwankungsbreite der Aktienrendite werden die Varianz beziehungsweise die Standardabweichung verwendet. Wir werden uns im Weiteren mit der Frage beschäftigen, wie sich aus der Schwankungsbreite einzelner Aktien das Risiko eines ganzen Aktienkorbes, eines Portfolios bzw. Portefeuilles, ergibt.

Die Varianz ist definiert als erwartete, quadratische Abweichung vom Erwartungswert:

Das mit dem Quadrieren hat den Vorteil, dass sich Abweichungen nach oben und nach unten im Schnitt nicht gegenseitig kompensieren. Die Varianz der Aktienrendite wird aufgrund des Quadrates jedoch in Quadrat-Prozent gemessen. Das ist nicht wirklich anschaulich. Deshalb macht es Sinn ein Streuungs- bzw. Risikomaß zu verwenden, das in Prozent angegeben wird. Das wäre dann die Standardabweichung. Sie ist definiert als Wurzel der Varianz:

Wenn wir die Varianz mit Hilfe einer empirischen Stichprobe abschätzen wollen, dann wird – anders als sonst beim arithmetischen Mittel üblich – durch N – 1 geteilt:

Durch N-1 wird geteilt, um den Verlust eines Freiheitsgrades auszugleichen, wie es im Statistiker Deutsch so schön heißt. Der Erwartungswert wird durch den Mittelwert der Stichprobe abgeschätzt.

Ein wichtiger Rat bei der Anlageentscheidung lautet: „Lege nicht alle Eier in einen Korb!" Dieser Spruch ist mittlerweile schon so abgelutscht, dass eigentlich 5 Euro für das Phrasen-Schwein fällig werden. Klar ist allerdings, dass ein diversifiziertes Portfolio sehr wahrscheinlich eine kleinere Streubreite der Aktienrendite als eine einzelne Aktie aufweist. M. Stratman hat in seinem Artikel mit dem Titel "How many stocks make a diversified portfolio" anhand historischer Aktienkursentwicklungen an der New York Stock Exchange (NYSE) untersucht, wie stark das Risiko eines Aktienportfolios mit zunehmender Aktienzahl abnimmt. Die folgende Grafik, die sich auch bei Brealey und Meyers findet, verdeutlicht den Zusammenhang:

 

Man erkennt deutlich, dass schon ein klein wenig Diversifikation für eine zunächst starke Reduktion der Schwankungsbreite der Rendite sorgt. Durch Diversifizierung kann die Streuung halbiert werden. Allerdings erreicht man diesen Effekt zum größten Teil bereits mit verhältnismäßig wenigen Aktien. Ob man jetzt 20 oder 40 Aktien hält, macht in Hinblick auf das Risiko eigentlich keinen großen Unterschied mehr.

 

Im Weiteren wollen wir uns der Frage widmen, wie der Zusammenhang zwischen dem Risiko eines Aktienkorbes und dem Risiko der in ihm enthaltenen Aktien aussieht. Grundsätzlich gilt, dass die Gesamtstreuung des Aktienportfolios niedriger ist, da die Aktienrenditen nicht perfekt korreliert sind. Aktien bewegen sich eben nicht perfekt im „Gleichschritt". Wenn wir uns die voran stehende Grafik noch einmal anschauen, erkennen wir, dass ein Teil des Risikos auch durch Streuung des Anlagevolumens auf sehr viele (oder sogar alle) Wertpapiere NICHT verschwindet. Dieser Teil des Risikos wird „systematisches Risiko" oder schlicht „Marktrisiko" genannt. Dem gegenüber steht das unsystematische Risiko, das auf Englisch „Unique risk" genannt wird.

 

Soviel erst einmal zur Anschauung. Wenden wir uns nun der Mathematik zu. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, dass unser Portfolio (wenn man es denn überhaupt so nennen will) nur aus zwei Aktien besteht.

Die Rendite einer Aktie A bezogen auf eine Periode errechnet sich folgenermaßen:

P1 ist dabei der Preis am Anfang und P2 ist der Preis am Ende der Periode. Wir betrachten hier also relative Nettorenditen. Falls in der betrachteten Periode eine Dividende ausgeschüttet werden sollte ergibt sich die Rendite zu:

Von Steuern abstrahieren wir an dieser Stelle, wie so oft. Die Kurse der Aktie A (die z. B. Amazon sein könnte) und der Aktie B (die z. B. Bayer sein könnte) sind in der Regel nicht vollständig unabhängig voneinander. Das erkennt man an der folgenden Grafik in der die Tagesrenditen der beiden Aktien abgetragen sind:

Die Punkte ergeben sich jeweils für einen Handelstag. Aus der groben Richtung der Wolke erkennt man, dass die Aktienrenditen tendenziell irgendwie zusammenhängen. Es gilt: Je besser Amazon abschneidet, desto besser schneidet auch Bayer ab. Wenn wir jetzt eine lineare Schätzgrade, wie sie in der Abbildung bereits eingezeichnet ist, durch die Punktwolke legen, dann hat die Schätzgerade die Funktion:

Die Steigung der Geraden ist gerade die Kovarianz geteilt durch die Varianz. Das ist Beta. Wir werden Beta noch häufiger begegnen. Grundsätzlich ist die Kovarianz definiert als:

Wir erkennen sofort, dass die Kovarianz einer Aktie mit sich selber gerade die Varianz der Aktienrendite ergibt:

Das Schöne ist, dass wir die Kovarianz auch mit Hilfe der Standardabweichungen von A und B und dem Korrelationskoeffizienten ρ ausdrücken können.

Rho ist der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Renditen. Er bewegt sich im Intervall zwischen – 1 und +1. Man kann ihn auch mit Hilfe der Kovarianz und den Standardabweichungen ausdrücken:

Liegt der Korrelationskoeffizient in der Nähe von +1, dann entwickeln sich die Aktienrenditen überwiegend gleichläufig. Ein Kursanstieg von Amazon geht dann tendenziell mit einem Kursanstieg von Bayer einher. Bei einem negativen Korrelationskoeffizienten würden sich die Aktienrenditen im Regelfall gegenläufig entwickeln.

Wir gehen nun davon aus, dass wir unser Vermögen zu einem Anteil x1 in Aktie A und zu einem Anteil x2 in Aktie B stecken. Die Summe der Anteile x1 und x2 soll 100% sein:

x1 + x2 = 1
Die folgenden Betrachtungen sind also vollkommen unabhängig von der Höhe des investierten Vermögens, und da die beiden Anteile in Summe stets 100% ergeben, können wir x2 durch x1 ausdrücken:
x2 = 1 - x1

Wie groß ist nun die Streubreite der Rendite eines Portfolios aus x1 · A und x2· B Aktien? Das können wir mit Hilfe der Definitionsgleichung der Varianz relativ einfach ausrechen:

Var(r) = E[(r - E(r))2]
 
Unsere Gesamtrendite r setzt sich aus den mit x1 und x2 gewichteten Aktienrenditen rA und rB zusammen:

Wenn wir also die Streubreite unseres Portfolios bestimmen wollen, dann müssen wir das schlicht und ergreifend für r in die Definitionsgleichung der Varianz einsetzen:

Wir sortieren die Terme in der Klammer um und erhalten:

Was hier in der Klammer steht ist so etwas wie a+b. Wir können also die erste Binomische Formel anwenden, um die Klammer zu quadrieren:

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

Mit

und:

erhalten wir:

Das können wir jetzt ganz einfach ausrechnen, denn es gilt die Rechenregel, dass der Erwartungswert einer Summe von Zufallszahlen gleich der Summe der Erwartungswerte der Zufallszahlen ist. Wir können daher den Erwartungswertoperator vor jeden Term in der Summe ziehen:

Und damit sind wir am Ziel unserer Träume, da man in den einzelnen Erwartungswerten unschwer die Definitionsgleichung für die Varianz bzw. die Kovarianz wiederfindet! Wir erhalten also für die Varianz eines Portfolios mit einem Anteil x1 der Aktie A und einem Anteil x2 der Aktie B folgende Formel für die Varianz der Gesamtrendite:

 

 

Diese Formel solltet ihr Euch einprägen. Man kann sie auch mit den Sigma formulieren:

 

 

Diese Formel kann man sich gut als Summe der Elemente der Folgenden Tabelle merken:

Wir wollen uns nun anschauen, wie sich Rendite und Risiko unseres Mini-Portfolios in Abhängigkeit von der jeweiligen Gewichtung der Aktien A und B entwickeln. Schauen wir uns als erstes die erwartete Rendite des 2-Aktien-Portfolios an:

 

 

Mit x2 = 1 - x1 ist das:

 

Wir erkennen, dass die erwartete Rendite des Portfolios eine lineare Funktion ist, und dass sie  je nach der Gewichtung der beiden Aktien im Portfolio Werte zwischen der erwarteten Rendite der Aktien A und der erwarteten Rendite der Aktie B annehmen kann, was natürlich nicht sehr überraschend ist.

 

Neben der erwarteten Rendite interessieren wir uns natürlich auch für das Risiko, schließlich geht eine höhere erwartete Rendite leider auch häufig mit einem höheren Risiko einher. Wir hatten weiter oben ja bereits ausgerechnet, dass die Gesamtvarianz des 2-Aktien-Portfolios durch die folgende Formel ausgedrückt wird:

 

 

Der Korrelationskoeffizient, der ja bekanntlich zwischen - 1 und + 1 liegen kann, scheint also eine wichtige, ja eine tragende Rolle zu spielen. Deshalb verdeutlicht die folgende Grafik drei verschiedene Rendite/Risiko-Verläufe bei drei unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten.

In der Abbildung erkennt man sehr schön, dass wir bei einem "normalen" Korrelationskoeffizient zwischen -1 und +1 es sogar hin kriegen können, das Risiko des Portfolios UNTERHALB das der einzelnen Aktien zu drücken. Super oder? Was wir hier in Vollendung sehen, nennt sich Risikoreduktion durch Diversifikation. Auf die hinter der Abbildung steckende Mathematik kommen wir weiter unten noch zu sprechen.

 

Hier in der Abbildung wird das Risiko auf der Y-Achse – in Fachkreisen auch Ordinate genannt – mit Hilfe der Standardabweichung gemessen. Die Standardabweichung der Aktienrendite unseres 2 Aktien Portfolios ergibt sich einfach als Wurzel der Varianz:

 

 

Wie ist es nun bei Portfolios, in denen sich mehr als zwei Aktien befinden? Die allgemeine Formel für die Varianz eines Aktienkorbes, in dem sich N Aktien befinden lautet:

Anschaulich kann man sich das gut mit Hilfe der folgenden Kovarianz-Varianz-Tabelle merken. Das Gesamtrisiko des Portfolios, in dem sich die Aktien 1, 2, 3 … bis N befinden, ist einfach gleich der Summe der Elemente der Kovarianz-Varianz-Tabelle:

In der Abbildung erkennt man bereits sehr schön, dass bei größerer Aktienzahl in fast allen Feldern der Tabelle Kovarianzterme stehen. Die Varianzen stehen nur in den Diagonalfeldern. Es fließen also N Varianzterme in die Gesamtvarianz ein. In allen übrigen Feldern der Tabelle, und das sind immerhin N2 - N, stehen Kovarianzterme. Wir erkennen, dass je mehr Aktien im Portfolio sind, umso wichtiger wird die Korrelation zwischen den Aktien und umso weniger bedeutsam ist die individuelle Streuung. Das kann man sich anhand der folgenden Überlegung, die sich so auch im Brealey Meyers findet, sehr schön verdeutlichen.

 

Nehmen wir an, dass wir N Aktien in unserem Portfolio haben und dass wir unsere Aktienauswahl vollkommen unbedarft getroffen haben. Wir haben also "naiv" diversifiziert. Damit ist gemeint, dass wir in jede Aktie den gleichen prozentualen Anteil unseres Vermögens gesteckt haben. Angenommen wir hätten 20 Aktien, dann hätten wir in jede Aktie einen Anteil von 1:N = 1:20 = 0,05 gesteckt. Dann ergibt sich für die Gesamtvarianz unseres naiven Portfolios:

 

 

Man erkennt leicht, dass für große N, also für gut diversifizierte Portfolios die Varianzterme keine Rolle mehr spielen und sich die Varianz des Portfolios der durchschnittlichen Kovarianz zweier Aktien annähert:

Jetzt sollte langsam klar sein, woher das Marktrisiko, also das nicht-weg-diversifizierbare Risiko kommt. Es spiegelt nämlich offensichtlich die durchschnittliche Kovarianz der im Portfolio enthaltenen Titel wider. Leider ist sie bei Aktien in der Regel größer als Null, so dass immer ein Restrisiko erhalten bleibt.

Wenn man wissen will, wie stark der Beitrag einer Aktie zum Marktrisiko ist, dann greift man gerne wieder, wie oben, auf eine lineare Regression zurück. Nur diesmal fahndet man nicht nach dem Zusammenhang zwischen zwei Aktien, sondern man sucht den Zusammenhang zwischen der Marktrendite und der Aktienrendite. Die Steigung der Regressionsgerade ist wieder Beta:

Aktien, deren Beta größer als 1 ist, verstärken tendenziell die Marktbewegung, während Aktien mit einem Beta kleiner als 1 weniger stark als der Markt schwanken. Wenn man z. B. ein Portfolio zusammen stellt, in dem nur Aktien mit einem Beta=0,5 sind, dann kann man durch Diversifikation einen Aktienkorb zusammenstellen, dessen "Marktrisiko" halb so groß wie das eigentliche Marktrisiko ist. Super oder? Halt Stopp! Wie so oft gilt es auch hier, den Trade-off zwischen Risiko und Rendite zu beachten. Schließlich geht unter Umständen ein niedrigeres Risiko auch mit einer niedrigeren erwarteten Rendite einher. Wie soll man also seine Aktienauswahl treffen?

Mit unterschiedlichen Portfoliozusammenstellungen kann man verschiedene Risiko/Rendite-Konstellation realisieren. Dafür benötigt man natürlich Informationen über die zukünftigen Verteilungen der Aktienrenditen, die man selbstverständlich NICHT hat. Deshalb greift man gerne auf vergangenheitsbezogene Werte zurück und macht auf diese Weise einen FEHLER. Wie groß dieser Fehler ist, sei zunächst einmal dahingestellt.

 

Mit Hilfe der Varianzen und Kovarianzen aller Aktientitel untereinander, kann man die in der folgenden Abbildung verdeutlichten Risiko/Rendite-Konstellationen realisieren. Nur: Welche Portfoliozusammensetzung ist jetzt die, die wir suchen? An dieser Stelle kommt das MÜ/Sigma-Prinzip ins Spiel. Es besagt, dass bei verschiedenen Portfolios mit gleicher Standardabweichung (Sigma) dasjenige mit dem höchsten Erwartungswert (Mü) gewählt werden sollte.

Portfolios, für die es bei gegebenen Sigma kein anderes mit höherem Mü gibt, heißen "effizient". In der Abbildung wurden die effizienten Portfolios durch eine Linie gekennzeichnet. Sie bilden zusammen den "effizienten Rand". Wenn die Präferenzen eines Investors so ausgestaltet sind, dass für ihn das Mü/Sigma-Prinzip gilt, was nicht unbedingt der Fall sein muss, dann kommen für Ihn nur Portfolios in Frage, die auf dem effizienten Rand liegen.

 

Leerverkäufe

Bisher haben wir nur den Fall betrachtet, dass wir unser Anlagevermögen auf unterschiedliche Aktien aufteilen, indem wir diese Aktien kaufen. Es gibt jedoch noch eine weitere Möglichkeit: Den Leerverkauf. Aktien oder Anleihen kann man mit gewissen institutionellen Einschränkungen genauso wie Geld leihen bzw. verleihen. Wenn sich jemand eine Aktie leiht und sie verkauft, spricht man von einem Leerverkauf. Er verkauft nämlich eine Aktie, die ihm eigentlich gar nicht gehört. Dieser Leerverkauf ist dann besonders interessant, wenn man auf fallende Kurse setzt. In diesem Fall kann man die Aktie nämlich, wenn man sie wieder zurückgeben muss, billiger als man sie verkauft hat wieder zurückkaufen. Wir erkennen: Die Rendite beim Leerverkauf ist umso höher, je niedriger der Aktienkurs ist.

Interessanter Weise können wir die Formeln für die erwartete Rendite und die Varianz des Portfolios auch anwenden, wenn wir Leerverkäufe als Anlageform mit berücksichtigen. Sie werden durch NEGATIVE Aktiengewichte ausgedrückt. Man könnte also z. B. -40% seines Vermögens in Aktie A und +140% seines Vermögens in Aktie B anlegen. In Summe ergibt das wieder 100%. Man hat also sein ganzes Vermögen angelegt.

Bei einem Vermögen von 100 Euro, würde das bedeuten, dass man sich Aktien des Unternehmens A im Wert von 40 Euro leiht und sie direkt weitervertickert und dass man dann sein Vermögen von 100 Euro plus die gerade durch den Leerverkauf eingenommenen 40 Euro, also insgesamt 140 Euro, in Aktie B steckt.

Während es für Privatanleger in der Regel schwieriger ist, Aktien leer zu verkaufen, ist dies bei institutionellen Anlegern eine übliche Geschäftspraktik. Ganz besonders interessant im Kontext der Portfolio-Optimierung ist, dass es möglich ist mit Hilfe von Leerverkäufen Portfolios zu kreieren, deren erwartete Rendite HÖHER als die erwarteten Renditen der im Portfolio enthaltenen Aktien ist. Leider ist dies natürlich auch - wie so oft - mit einem höheren Risiko verbunden.

 

Sichere Wertpapiere

Kurzfristige Anleihen mit Laufzeiten zwischen einem Monat und 1 Jahr wohlhabender und wirtschaftspolitisch als stabil geltender Staaten mit niedriger Inflation und moderater Verschuldung gelten als sicher. In Deutschland werden solche Anleihen "Schatzbriefe" genannt, während die kurzfristigen Staatsanleihen in den USA "Treasury Bills" heißen. Sichere Anlagemöglichkeiten, wenn man denn wirklich glaubt, dass sie 100% sicher sind, weisen keine Streubreite der Rendite auf. Die Standardabweichung der Rendite ist also Null.

Wenn wir die sichere Anlage unserem Portfolio beisteuern und Leerverkäufe zulassen, können wir so genannte "supereffiziente" Portfolios konstruieren. Diese Erkenntnis geht auf James Tobin zurück, der zusammen mit Harry Markowitz den Nobelpreis erhielt. Tobin erkannte, dass man in seinem Portfolio die sichere Anlage mit demjenigen Portfolio des effizienten Rands kombinieren sollte, dass tangential von der so genannten Kapitalzuteilungsgerade berührt wird. Am besten verdeutlicht man sich die erreichbaren Risiko/Rendite-Kombinationen graphisch:

Das überraschend schöne Ergebnis von Tobin besteht darin, dass alle Investoren das gleiche supereffiziente Portfolio halten und es dann je nach ihren individuellen Präferenzen, also ihren Risiko/Rendite-Zielen, mit der sicheren Anlage kombinieren.



 

Kleiner Nachtrag zu Markowitz

Wenn Euch die Formel für die Varianz eines Portfolios zu kompliziert aussieht, um sie sich zu merken, dann habe ich hier für euch eine kleine, hübsche und viel einfacher zu merkende Formel:


Das Symbol ω bezeichnet einen einspaltigen Vektor, in dem die wertmäßigen Gewichtungsfaktoren der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere stehen. Wenn im Portfolio N Titel enthalten sind, dann hat der Vektor N Zeilen:

Entsprechend ist ω´ der zu einer einzeiligen und N-spaltigen Matrix transponierte Vektor w der Gewichtungsfaktoren:

Omega steht für die Varianz-Kovarianz-Matrix, die wir schon weiter oben kennen gelernt haben. Sie hat bei N Wertpapieren N Spalten und N Zeilen. Auf der Diagonalen stehen die Varianzen während alle anderen Felder mit Kovarianzen gefüllt sind.

 

Mithilfe dieser süßen kleinen Formel können wir für jede beliebige Zahl von Wertpapieren die Varianz des Portfolios bestimmen. Ich möchte die dafür notwendige Rechnung kurz am Beispiel mit zwei Aktien verdeutlichen:

 

 

Zunächst wird die Matrix mit dem rechten Vektor multipliziert.

 

 

Es ergibt sich die bekannte Formel:

Literaturverzeichnis

Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, Kapitel 4

Jetzt bei Amazon bestellen

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, Kapitel 5

Jetzt bei Amazon bestellen

Principles of Corporate Finance R. A. Brealey/ S. C. Myers/ F. Allen

2007, McGraw Hill, Chapter: Risk and Return

Jetzt bei Amazon bestellen
Suche