Maße der Risikoaversion

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Risikopräferenz, Risikoprämien und Sicherheitsäquivalente

Durch welche Risikopräferenz zeichnen sich denn nun Investoren beziehungsweise Kapitalmarktakteure aus? Sind sie risikoscheu oder risikofreudig und wie spiegelt sich das in ihren Nutzenfunktionen wider? Um diesen Fragen nach zu gehen, wollen wir als Benchmark zunächst den "fairen" Preis für eine Lotterie festlegen. Wir definieren diesen Referenzpreis auf die folgende Art und Weise: Der Preis für ein Glücksspiel soll dann fair sein, wenn man bei Zahlung dieses Preises im Erwartungswert weder gewinnt noch verliert. Jeder von uns weiß, dass - wenn man beispielsweise sechs aus 49 Lotto am Mittwoch spielt - der Lospreis alles andere als fair ist. Man zahlt viel mehr, als man im Erwartungswert zurück erhält. Die Entscheidung, ein solches Lotterielos zu kaufen, wird wohl nur von jemandem getroffen, der Spaß am Risiko hat. Wir sprechen hier von Risikofreude.

Unter einer Lotterie verstehen wir eine unsichere Auszahlung, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist. Ein einfaches Beispiel wäre ein Münzwurfspiel: Bei Zahl erhalten Sie 6 Euro und bei Kopf bekommen Sie 12 Euro. Wie viel sind Sie nun bereit, für die Teilnahme an diesem Münzwurfspiel zu zahlen?
 
Sollte ein Investor bereit sein, für die Lotterie den fairen Preis - im Münzwurfbeispiel wären das 9 Euro - zu zahlen, dann ist er risikoneutral. Denn er verlangt für das von ihm zu tragende Risiko weder einen Auf- noch einen Abschlag. In diesem Fall spricht man von Risikoneutralität. Ein risikofreudiger Lotteriespieler ist bereit, einen Preis oberhalb des fairen Preises - also z. B. 10 Euro - zu zahlen.
 
Der ökonomisch interessanteste - weil relevanteste - Fall ist jedoch der Fall der Risikoaversion. Ein risikoaverser Investor ist nur bereit, den fairen Preis abzüglich einer Risikoprämie zu zahlen. Diesen Preis nennt man auch Sicherheits-Äquivalent, da sein Nutzen gerade dem erwarteten Nutzen der unsicheren Zahlung entspricht.
 
Bei konkaven Nutzenfunktionen ist das Sicherheits-Äquivalent stets kleiner als der Erwartungswert der unsicheren Größe. Man berechnet es folgendermaßen:

 

 

U-1 steht dabei für die Umkehrfunktion der Nutzenfunktion. Nutzenfunktionen weisen, damit sie überhaupt plausibel sein können, eine positive Steigung auf. Es ist ihre Krümmung, also die zweite Ableitung, die entscheidend für die in der Nutzenfunktion verankerte Risikopräferenz ist. Ist die zweite Ableitung positiv und die Nutzenfunktion folglich konvex, liegt Risikofreude vor. Konkave Nutzenfunktionen mit negativer zweiter Ableitung sind gleichbedeutend mit Risikoaversion. Bei Risikoneutralität entspricht das Sicherheits-Äquivalent dem Erwartungswert, da die Nutzenfunktion linear und die zweite Ableitung folglich konstant Null ist.


Machen wir uns die Risikoaversion am Beispiel klar. Die Nutzenfunktion

 

hat eine positive erste Ableitung und eine negative zweite Ableitung:

 

Hat ein Entscheider diese Nutzenfunktion, dann ist er risikoavers. Eine Lotterie, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder 0,1 Euro oder 20 Euro erbringt, wäre dem risikoaversen Investor genauso viel Wert wie ein Sicherheits-Äquivalent in Höhe von:

 


Es ist kleiner als der Erwartungswert der Lotterie in Höhe von 10,05 Euro. Nichts anderes erwarten wir von einem risikoaversen Investor.

Eine weitere interessante Frage ist die, wie man die Intensität der Risikoaversion messen kann. Als erstes fällt uns da natürlich sofort die zweite Ableitung der Nutzenfunktion ein. Schließlich ist die Risikoaversion umso stärker, je stärker die Nutzenfunktion gekrümmt ist. Leider stellt sich dieser Weg, die Intensität der Risikoaversion zu messen, schnell als Sackgasse heraus. Denn zum Beispiel die Nutzenfunktion
 
impliziert die gleiche Risikoeinstellung wie die linear transformierte Nutzenfunktion U(x)=ln(x)! Sie weist jedoch eine andere zweite Ableitung auf.


Ein gangbarer Weg, um die Risikoaversion zu messen, führt über die verlangte Risikoprämie. Sie ist nämlich bei beiden Nutzenfunktionen gleich. Und zwar:

Leider ist auch die Höhe der Risikoprämie nicht der Weisheit letzter Schluss. Denn sie ist NICHT NUR von der Risikoaversion des Investors SONDERN AUCH vom Risiko der Lotterie abhängig ist. Das weiter unten behandelte Arrow-Pratt-Maß ist hier insofern eleganter, als dass es nicht vom Risiko der Lotterie abhängt.
 

Vermögenssituation und Risikoaversion

 
Die Vermögenssituation hat natürlich Einfluss auf die Risikoaversion UND die geforderte Risikoprämie. Mit zunehmendem Vermögen ändert sich unter Umständen die Risikoaversion eines Investors und folglich die Risikoprämie die er für die Teilnahme einer Lotterie mit unverändertem Risiko verlangt. 
 
Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass unser Investor neben der bisher betrachteten Lotterie zusätzlich noch über einen sicheren Geldbetrag in Höhe von V0=100 Euro verfügt, dann ergibt sich das Sicherheitsäquivalent des gesamten Portfolios zu:

 

 

Allerdings hat sich die Höhe der Risikoprämie gegenüber der Ausgangssituation, in der kein Sockelvermögen vorhanden war, verändert:


Wir lösen nach der neuen Risikoprämie auf:

In unserem Zahlenbeispiel ergibt sich eine Risikoprämie in Höhe von:

 

 

Wir erkennen: Die Risikoprämie ist kleiner als im Ausgangsfall. Sie hängt offensichtlich entscheidend vom Vermögen des Investors ab.
 

Absolute Risikoaversion

 
Ein Maß für die Risikoaversion, das unabhängig vom Risiko der jeweils betrachteten Lotterie ist und das wir als absolute Risikoaversion (kurz: ARA) bezeichnen, ist folgendermaßen definiert:
 
 
 
 
 

Man erkennt sofort, dass linear transformierte Nutzenfunktionen die gleiche absolute Risikoaversion aufweisen. Nehmen wir als Beispiel die Nutzenfunktion U(x) = x0,5. Sie impliziert die gleiche Risikoeinstellung wie die Nutzenfunktion U(x) = 4·x0,5 + 10. Der Summand +10 fällt schon bei der ersten Ableitung weg, aber der Vorfaktor 4 bleibt sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Ableitung erhalten. Das Schöne am ARA-Maß ist, dass sich dieser Vorfaktor rauskürzt, da er im Nenner und im Zähler auftaucht. Es ergibt sich daher für beide Nutzenfunktionen, die anhand des Bernoulli-Prinzips zu denselben Entscheidungen führen, die gleiche ARA:

 
 
ARA = 0,5/x
 
 

Um uns anschaulich die Bedeutung dieses neuen Risikoaversion-Maßes zu verdeutlichen, nehmen wir an, dass ein Investor über 10.000 Euro verfügt, die er anlegen möchte. Ihm stehen dazu leider nur zwei Anlagemöglichkeiten zur Verfügung: Entweder kauft er sichere Bundesschatzbriefe oder riskante Aktien. Die Übernahme des höheren Risikos beim Aktienkauf soll durch eine höhere erwartete Rendite kompensiert werden. Wenn der Investor sich nun entscheidet, 3000 Euro seines Vermögens in sichere Bundesschatzbriefe und 7.000 Euro in Aktien zu investieren, dann steckt in dieser Aufteilung eine Information, die der absoluten Risikoaversion vergleichbar ist.

 

Bei konstanter absoluter Risikoaversion würde der Investor auch bei einem Vermögen von 15.000 Euro weiterhin nur für 7.000 Euro Aktien kaufen und die übrigen 8.000 Euro sicher anlegen. Bei zunehmender absoluter Risikoaversion würde er bei steigendem Vermögen sogar noch weniger Aktien kaufen. Denn seine absolute Risikoaversion nimmt mit steigendem Reichtum zu. Das ist natürlich nicht sehr plausibel.

 

Am überzeugendsten ist der Fall der abnehmenden absoluten Risikoaversion: Wenn das Vermögen anwächst, steigt der absolute Betrag, der riskant in Aktien investiert wird. In unserem Beispiel würde der Investor beim Anfangsvermögen von 15.000 also mehr als 7.000 Euro in Aktien investieren. Ob der absolute Betrag, der riskant investiert wird mit steigendem Vermögen größer oder kleiner wird, kann man leicht erkennen, wenn man die Ableitung des ARA nach V bestimmt. Die Änderung des absolut investierten riskanten Betrages bei steigendem Vermögen wird also durch die Ableitung der absoluten Risikoaversion gemessen.


Die relative Risikoaversion RRA ist definiert als:

 
Auch hier steckt in der Ableitung des Risikomaßes nach dem Vermögen eine interessante Information. Sollte die Ableitung negativ sein, so bedeutet das, dass der Prozentsatz der riskant investiert wird, mit steigendem Vermögen steigt. Man spricht in diesem Fall von abnehmender relativer Risikoaversion. In unserem Beispiel würde das bedeuten, dass der Investor bei einem Vermögen, das von 10.000 auf 15.000 Euro steigt, mehr als die anfänglichen 70% also zum Beispiel 80% in Aktien steckt. Er würde also 12.000 Euro riskant und 3.000 Euro sicher investieren.

 

Bleibt die prozentuale Aufteilung des Vermögens konstant, dann spricht man von konstanter relativer Risikoaversion. Die Ableitung des RRA nach dem Vermögen wäre in diesem Fall gleich Null. Sollte der Prozentsatz des riskant investierten Vermögens fallen - was nicht besonders plausibel ist - spricht man von zunehmender relativer Risikoaversion.

 

Mit dem bisher gewonnenen Wissen können wir nun Nutzenfunktionen auf ihre Plausibilität hin überprüfen. Beginnen wir mit einer Nutzenfunktion, die gerne bei modell-theoretischen Arbeiten wie zum Beispiel dem CAPM verwendet wird:
 



 



 
Wir erkennen, dass sich diese beliebte Nutzenfunktion durch konstante absolute Risikoaversion und zunehmende relative Risikoaversion auszeichnet. Empirisch beobachtet man häufig, dass die absolute Risikoaversion mit dem Vermögen fällt, während die relative Risikoaversion konstant bleibt. Anders formuliert: Häufig investieren Individuen mit zunehmenden Reichtum - absolut gesehen - mehr in riskante Anlageformen, allerdings ändert sich der Prozentsatz des riskant angelegten Vermögens nicht.

In der folgenden Tabelle sind die absolute und relative Risikoaversion bestimmter Nutzenfunktionen aufgeführt:

 

 

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 106-114

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