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Risikoaversion und Risikoprämien

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


In der Regel sind sichere Zahlungen mehr wert als unsichere Zahlungen mit gleichem Erwartungswert. Anders ausgedrückt ist das so genannte Sicherheitsäquivalent der unsicheren Zahlung kleiner als der Erwartungswert der unsicheren Zahlung. Unter einem Sicherheitsäquivalent wird die sichere Zahlung verstanden, die dem Investor genauso viel wert ist, wie die unsichere Zahlung. Dass das Sicherheitsäquivalent in der Regel kleiner als der Erwartungswert ist, liegt natürlich an den Präferenzen und den Risikoeinstellungen der Käufer  der jeweiligen Zahlung bzw. des Zahlungsstromes bzw. an der Risikoaversion des Marktes. Schließlich gilt generell: Etwas ist nur so viel wert, wie jemand bereit ist, dafür zu zahlen.

Man beobachtet auf realen Kapitalmärkten, dass sichere Zahlungen mehr wert sind und höhere Preise als unsichere Zahlungen mit einem Erwartungswert in gleicher Höhe erzielen. Anderes ausgedrückt: Unsichere Zahlungen werden gegenüber sicheren Zahlungen mit einem Abschlag (englisch: „discount“) gehandelt. Um dieses Phänomen analytisch zu erklären, muss man letztendlich Aussagen über die individuellen Präferenzen der Investoren treffen. Dies geschieht mit Hilfe der Nutzenfunktion. Die für reale Kapitalmärkte und für die auf ihnen vertretenen Investoren typische Risikoaversion kann man durch eine konkave Nutzenfunktion abbilden:

Auf der X-Achse wird die zukünftige Zahlung und auf der Y-Achse der jeweils dazugehörige Nutzen abgetragen. Hier habe ich mal eine Wurzelfunktion angenommen, da Wurzelfunktionen konkav sind: Die Nutzenfunktion soll also folgendermaßen lauten:

Die erste Ableitung des Nutzens ist positiv. Das bedeutet: Je höher die Zahlung, umso besser ( also wie im echten Leben!).

$$ U'(x)=0,5\cdot x^{-1/2}>0$$

Außerdem ist eine weitere Eigenschaft meiner konkaven Nutzenfunktion , dass der Schritt von sagen wir 10 Euro auf 20 Euro Gesamtvermögen eine größere Nutzensteigerung verursacht als der Sprung von 10.000 Euro auf 10.010 Euro (ebenfalls wie im echten Leben!). Die konkave Nutzenfunktion zeichnet sich also durch einen abnehmenden Grenznutzen aus:

Mit steigendem X steigt die Nutzenfunktion immer weniger stark an!

Da sich das mit der Nutzenfunktion so plausibel anhört, kommen wir schlussendlich auf das in der Praxis regelmäßig zu beobachtende Phänomen, dass das Sicherheitsäquivalent unsicherer Zahlungen NIEDRIGER als ihr Erwartungswert ist!

Aber schauen wir uns erst einmal den Nutzen einer sicheren Zahlung an. Angenommen, wir erhalten eine sichere Zahlung in Höhe von 9 Euro. Dann ist der Nutzen, den wir aus diesen 9 Euro ziehen, gerade 3 Wurzel-Euro. Okay, das mit den Wurzel-Euro ist jetzt ein bisschen doof, aber ihr versteht ja, dass damit eine Nutzeneinheit gemeint sein soll.

Die Nutzeneinheit lasse ich im Weiteren einfach weg. Schließlich ist klar, dass je höher der Nutzen ist, desto besser für den Anleger.

So viel erst einmal zum Nutzen der sicheren Zahlung. Diesen Nutzen gilt es nun, mit dem Nutzen einer unsicheren Zahlung (hier Lotterie) zu vergleichen! Hier tritt ein Bewertungsproblem auf. Denn die unsichere Zufallsvariable schwankt auf der X-Achse in einem bestimmten Intervall.

 

Wie sollen wir das jetzt - bitte schön - mit dem Nutzen einer sicheren Zahlung vergleichen? Hier kommt uns das Bernoulli-Prinzip zur Hilfe. Es besagt, dass sich Individuen am erwarteten Nutzen orientieren und ihre persönliche Zielfunktion darin besteht, den erwarteten Nutzen zu maximieren. Bei einer sicheren Zahlung ist der erwartete Nutzen einfach gleich dem tatsächlichen Nutzen. Schließlich schwankt da nichts:

E(U(x))=U(x)=3

Wie sieht es nun bei unsicheren Zahlungen aus? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den erwarteten Nutzen der unsicheren Zahlung bestimmen. Die Formel für den Erwartungswert lautet bei kontinuierlichen Verteilungen:

 

 

Dabei ist X die Zufallsvariable, deren Erwartungswert man bestimmen will, und f(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallsfunktion. Um dem Bernoulli-Prinzip Genüge zu tun, soll der Erwartungswert des Nutzens U(X) bestimmt werden. Dazu benötigen wir die Verteilung der unsicheren Größe X. Um das Prinzip zu verdeutlichen, werden wir zunächst eine diskrete Zweipunktverteilung mit den beiden gleichwahrscheinlichen Ausprägungen 7 Euro und 11 Euro unterstellen. Der Erwartungswert dieser unsicheren Zahlung beträgt dann 9 Euro und der Nutzen des Erwartungswertes ist: U[E(x)]=3.

Es ergibt sich ein erwarteter Nutzen von:

Das Sicherheitsäquivalent einer unsicheren Zahlung ist die sichere Zahlung, deren Nutzen dem erwarteten Nutzen der unsicheren Zahlung entspricht. Es ergibt sich in unserem Zahlenbeispiel zu:

SÄ= 2,982€=8,88 €

 

Das Sicherheitsäquivalent ist 12 Cent niedriger als der Erwartungswert der unsicheren Zahlung. Die Spanne zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent nennt man Risikoprämie. Sie ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, 101-114

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 112

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Professionelles Portfoliomanagement C. Bruns, F. Meyer-Bullerdiek

2003, Schäffer-Poeschel, 6; 77

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