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Bernoulli-Prinzip und die Axiome vernünftigen Verhaltens

Dr.-Ing. Hans-Markus Callsen-Bracker


Das Bernoulli-Prinzip

Wie entscheidet sich ein rationaler Investor, wenn es darum geht, Entscheidungen unter Unsicherheit zu treffen? Das ist alles andere als klar. Und tatsächlich handelt es sich hierbei noch immer um ein spannendes Forschungsfeld. Nicht zuletzt seit die Hirnforschung so große Fortschritte gemacht hat und es mithilfe moderner Scanner möglich geworden ist, Probanden bei ihren Entscheidungsprozessen "live" im Kopf zu beobachten. Die junge Forschungsrichtung, die den neuronalen Grundlagen der menschlichen Entscheidungsprozesse auf den Grund geht, nennt sich Neuroökonomie. Interessanterweise scheinen einige neu entdeckte, elementare Entscheidungsprozesse im Gehirn Prinzipien wider zu spiegeln, die schon seit mehreren Jahrhunderten aus der Entscheidungstheorie bekannt sind.
 
Das ist nicht weiter verwunderlich, denn auch in der Tierwelt werden ständig Entscheidungen unter Unsicherheit getroffen. Manfred Spitzer bringt dazu in seinem Buch "Selbstbestimmen" das Beispiel eines Leoparden, der sich überlegen muss, ob er bei seinem sicheren Aas bleibt oder ob er doch lieber einem vorbei rennenden Zebra hinterher jagt, um an dessen saftiges Frischfleisch zu kommen. Der Preis für die unsichere, aber gleichzeitig verlockendere Alternative ist die Aufgabe des sicheren Aas, das sich, falls der Leopard sich für die Jagd nach dem Zebra entscheidet, die hungrigen Leoparden Kollegen unter den Nagel reißen. Hier stellt sich eine zentrale Frage: Was ist mehr wert: Das sichere, mittlerweile schon etwas trockene Aas oder das unsichere dafür aber saftige Frischfleisch?

 

Für die Entscheidung ist neben der Erfolgswahrscheinlichkeit der Zebrajagd auch noch die Zielfunktion des Leoparden ausschlaggebend. Hier kommen wir zum eigentlichen Grundproblem der Entscheidung unter Unsicherheit: Was maximiert ein Leopard beziehungsweise ein Investor eigentlich?

 

Letztlich steht und fällt die Antwort auf diese Frage mit der jeweils zu Grunde gelegten Zielfunktion. Eine populäre Antwort stammt aus dem Jahr 1738 und lautet: Der Entscheider maximiert seinen erwarteten Nutzen! Diese Aussage hört sich auf den ersten Blick sehr plausibel an, ist sie aber nicht zwangsläufig. Entscheidet ein Individuum so, dass es seinen Erwartungsnutzen maximiert, dann handelt es nach dem zu Ehren seines Entdeckers benanntem Bernoulli-Prinzip.
 

Das Bernoulli-Prinzip geht auf den Schweizer Daniel Bernoulli zurück, den man nicht mit dem Mathematiker Jakob Bernoulli verwechseln sollte, nach dem unter anderem die Bernoulli-Verteilung benannt wurde. Daniel war der Neffe von Jakob. Augenscheinlich handelte es sich bei den Bernoullis um eine mathematisch ziemlich talentierte Familie.

 
Das eigentlich Neue an der Idee Bernoullis war, dass Entscheidung unter Unsicherheit eben NICHT anhand der Erwartungswerte von unsicheren Größen getroffen werden, sondern dass vielmehr eine andere Zielfunktion - nämlich der Erwartungsnutzen - maximiert wird. Daniel Bernoulli selbst erläuterte das Phänomen anhand des sogenannten Sankt-Petersburg-Paradox: In einem Kasino in Sankt-Petersburg wird das folgende Glücksspiel angeboten. Eine Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf kommt. Der Spieler erhält als Lotteriegewinn einen Geldbetrag, der davon abhängt, wie oft die Münze bis zum ersten Mal Kopf geworfen werden musste. Fällt Kopf bereits nach einem Münzwurf, dann erhält der Spieler 1 Dukate (oder heute vielleicht 1 Rubel). Sollten 2 Münzwürfe notwendig sein, bekommt der Spieler bereits den doppelten Betrag, nämlich 2 Rubel. Allgemein formuliert erhält er 2n-1 Rubel. Wenn erst der tausendste Wurf zum Ereignis "Kopf" führt, bekommt der Spieler wirklich eine Menge Geld: 2999 Rubel. Mein Taschenrechner streikt hier, da die Zahl WIRKLICH groß ist. Zwar ist auch die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ziemlich klein (p=0,51000), aber dennoch ist insgesamt betrachtet der erwartete Gewinn unendlich groß:
 
 

Allerdings ist die Zahlungsbereitschaft für dieses Spiel begrenzt. Bei Versuchen mit Studenten ergeben sich regelmäßig Zahlungsbereitschaften zwischen 40 und 50 Rubel (bzw. Euro). Die Zahlungsbereitschaft ist bei realen Entscheidern also erheblich niedriger als der Erwartungswert der Lotterie bzw. allgemein einer unsicheren Zahlung. Das ist durchaus rational, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.

 

Axiome vernünftigen Verhaltens

Es ist möglich, das Bernoulli-Prinzip als logische Konsequenz aus sechs Axiomen vernünftigen Verhaltens herzuleiten, was von Oskar Morgenstern und John von Neumann in ihrem Buch „Theory of Games and Economic Behavior“ aus dem Jahre 1944 gezeigt wurde. Ich werde im Weiteren die sechs Bedingungen für die Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips kurz aufzählen und beschreiben.

 
1) Vergleichbarkeit
2) Transitivität
3) Stetigkeit
4) Beschränkung
5) Dominanz
6) Substituierbarkeit

 

Als erstes wird gefordert, dass das betreffende Individuum in der Lage ist, verschiedene Handlungsmöglichkeiten gegeneinander abzuwägen. Damit ist gemeint, dass man in der Lage ist, zu sagen, ob A besser, schlechter oder genauso gut wie B ist. Diese Forderung ist unkritisch.

 

Zweitens benötigen wir Transitivität. Damit ist gemeint, dass wenn A besser als B und schlechter als C ist, dass daraus auch folgt, dass B von C dominiert wird. Bei monetären Größen sollte das unproblematisch sein. Doch zum Beispiel bei Wahlentscheidungen zwischen verschiedenen Personen muss nicht immer Transitivität vorliegen. Das ist die Aussage des %jump[42|Condorcet-Paradoxon]%, das weiter unten noch ausführlich beschrieben wird. Bei mangelnder Transitivität der zur Wahl stehenden Alternativen kann die Reihenfolge der Abstimmungen Einfluss auf den Ausgang der Wahl haben. Unter Umständen kommt es hier zu einem Demokratieversagen. Das soll uns hier aber nicht weiter beschäftigen.

 

Die dritte Anforderung an die Nutzenfunktion ist die Stetigkeit. Damit ist gemeint, dass falls A besser als B und B besser als C ist, es eine Indifferenzwahrscheinlichkeit q gibt, so dass gilt:

 

B=q·A+(1-q)·C

 

Wenn die Nutzenfunktion stetig ist, dann existiert eine Lotterie, die mit einer Wahrscheinlichkeit von q gerade A erbringt und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-q als Resultat C liefert und die uns genauso viel Wert wie ein sicheres B ist.


Außerdem muss das Individuum in der Lage sein zu entscheiden, welche Ausprägung die beste und welche die schlechteste ist. Hier spricht man von Beschränkung.

Die vorletzte Forderung ist die Forderung nach Dominanz: Falls Sie A besser als B finden, dann sollten Sie eine Lotterie, die mit einer höheren Wahrscheinlichkeit A liefert, gegenüber einer Lotterie, die A mit einer niedrigeren Wahrscheinlichkeit erbringt, bevorzugen:

 

Lotterie 1: A mit q1 und B mit (1-q1)

 

Lotterie 2: A mit q2 und B mit (1-q2)


Aus q1 > q2 folgt Lotterie 1 > Lotterie 2.

Die letzte Voraussetzung, die notwendig ist, damit das Bernoulli-Prinzip gilt, ist das Unabhängigkeitsaxiom. Sollte Alternative A besser als Alternative B sein, dann sollte eine Lotterie, bei der es mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit q die Alternative A und mit der Gegenwahrscheinlichkeit C zu gewinnen gibt, besser als eine Lotterie sein, bei der es mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie bei der ersten Lotterie B und mit der ebenfalls identischen Gegenwahrscheinlichkeit C zu gewinnen gibt. Es wurde hier nur die Alternative, die es bei der Lotterie zu gewinnen gibt, ausgetauscht, während die Eintrittswahrscheinlichkeiten gleich blieben! Wenn die Axiome bis hier hin gelten, dann kann man zeigen, dass der folgende Zusammenhang gilt:

 

U[A, B | q, (1-q)] = q · U(A) + (1-q) · U(B) = E[U(x)]



Der Nutzen einer unsicheren Lotterie ist gleich dem Erwartungsnutzen! Kruschwitz (2002) führt hierfür auf den Seiten 90-93 den formalen Beweis auf. Wenn Sie die mathematische Beweisführung interessiert, lesen Sie diese bitte dort nach!

 

Wir beschränken uns auf Individuen, die nach den sechs Axiomen vernünftigen Handelns entscheiden und für die entsprechend das Bernoulli-Prinzip gilt! Die von uns betrachteten Individuen maximieren ihren erwarteten Nutzen, der alternativ auch Erwartungsnutzen oder Neumann-Morgenstern-Nutzen genannt wird! Auf diesem Wege haben wir das Problem der Zielfunktion auf eine plausible und vor allem gut berechenbare Art und Weise gelöst und können uns nun der Frage zuwenden, wie Individuen im Allgemeinen und Kapitalmarktakteure im Speziellen bei ihren Entscheidungen mit Risiko umgehen.
Literaturverzeichnis

Finanzierung und Investition Lutz Kruschwitz

2007, Oldenbourg, Kapitel 3

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Finanzwirtschaft der Unternehmung Perridon/ Steiner

2007, Vahlen, 13. Auflage: S.113-119

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Exposition of a new theory on the measurement of risk. Daniel Bernoulli

1738, 1954, in: Econometrica, 22, S. 23-36.,

Vom Sinn des Lebens Manfred Spitzer

2007, Schattauer, S. 128-139

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Selbstbestimmen. Gehirnforschung und die Frage: Was sollen wir tun? Manfred Spitzer

2003, Spektrum, S. 247-262

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Risikomanagement und Kapitalmarkt Hans-Markus Callsen-Bracker, Hans Hirth

2010, Callsen-Bracker Verlag, S. 2-5

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